万有引力作用下的质点运动问题-2017年10月.doc

引 言 日月升落，星光闪烁，自古以来就吸引着人们探究其运行规律。这固然是航海、农业等生活、生产的需要，却也是人类了解自身环境秩序的渴求。今天，电子计算机和射电望远镜的使用不但使我们认识到星系的大小、结构，还为探求宇宙起源的大爆炸理论提供了证据。人造天体的升空实现了在太阳系内的实地考察。1990年4月由“发现者号”航天飞机送入太空的哈勃空间望远镜是探索宇宙空间的利器，它可以观测远在4000～5000万光年的造父星系，它还有能力发现遥远的非常暗、非常小的处于生长期的星系，寻找黑洞。1994年7月17日休梅克-列维9号彗星与木星相撞，哈勃空间望远镜已送回了清晰地图像。应该说，是牛顿的万有引力定律为我们今日对宇宙的认识开辟了道路，而万有引力定律开始形成就是植根于对宇宙中地、月、日运行的探索之中。 1行星运动和开普勒定律 在古代，人们对天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法。无论是地心说还是日心说，古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美的、最和谐的匀速圆周运动。德国天文学家开普勒用了20年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，发现如果行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符。只有假设行星绕太阳运动的轨迹不是圆，而是椭圆，才能解释这种差别。他还发现了行星运动的其他规律。开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的下列规律，后人称为开普勒行星运动定律，即，开普勒三定律。 1.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2.对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，如图1.1。 图1.1 3.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 恒量 2万有引力定律 开普勒定律只能说明行星运动的规律，而不能解释出现这种现象的原因。牛顿在进一步研究的基础上，得出结论：使行星绕太阳运动的力，是源于太阳的一种吸引力，其作用线始终通过太阳。其大小正比于太阳和行星的质量，反比于行星和太阳之间距离的平方。此后，牛顿将这一规律推广到月球绕地球的运动；进而认为所有物体和物体之间都存在着一种相互吸引的力，即万有引力，从而建立了万有引力定律。表诉如下： 在宇宙间，任何两个物体之间都有引力相互作用，其方向沿着二物体的连线，其大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。若以表示物体的质量，表示他们之间的距离，如图2.1。 图2.1 则作用在上的力为 称为引力常数。在SI单位之中，它的大小为： 若固定在点，则力F可以写作： 式中：是取决于的位置的矢量。 3有心力和有心运动 如果作用于运动质点的力的作用线总是通过空间某一固定点，这样的力叫做有心力，力所指向或背向的固定点叫做力心。指向力心的有心力叫做引力，背向力心的是斥力。有心力的量值，一般只是力心与质点间的距离的函数。在有心力作用下质点的运动叫有心运动。有心运动是一类常见的运动，天体的运行、原子核外的电子运动都属于这类运动。火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究。 3.1基本特征 取力心为惯性系坐标的原点，则质点受到的有心力可按定义写为 （3.1） 其中，是质点的位置矢量。由此可以立即知道有心力对于力心的力矩为零。因为有心力的方向总是通过力心，有心力对力心（坐标原点）的力矩为 其次，有心力是保守力。这是因为有心力只具有径矢方向的分量，因而质点由点运动到点时有心力作的功是 这个积分只与起点和终点离开力心的距离和有关，显然与质点运动的路径无关。这就证明了有心力是保守力。 根据有心力的特点，立即可以推得质点有心运动的一些基本特性。 3.1.1质点的动量矩守恒 质点受到的有心力对于力心的力矩为零，由动量矩定理立即可知，质点在运动过程中对力心（坐标原点）的动量矩守恒，即 恒矢量 （3.2） 3.1.2有心运动是平面运动 由于角动量与质点的位矢及速度矢量都垂直，质点的角动量却是一恒量矢量，因而质点的位矢和速度都只能在与角动量垂直的平面内。质点的有心运动只能是平面运动，有心运动的轨道曲线是平面曲线。质点的运动平面，是由质点的初始位矢和初始速度矢量所决定的。 3.1.3有心运动质点的机械能守恒 作用于质点的有心力是保守力，质点具有势能： （3.3） 质点的总机械能守恒 常量 （3.4） 3.2运动方程 前面讨论了有心力和质点有心运动的一些特点，对求解有心运动问题提供了有利的帮助。质点有心运动问题的求解采用平面极坐标系是最为适宜的。取运动平面为极坐标平面，角动量则与极坐标平面垂直，质点的运动微分方程可写为 （3.5）