三垂线定理及其逆定理-人教版[原创]-2017年10月.ppt

* p O 自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影； 这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。 Q (1)射影 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。 斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。 A C B 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影； 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。 斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。 A C B O 定理 从平面外一 点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中， （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长 （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长 （3）垂线段比任何一条斜线段都短 A ? a O P 已知 PA、PO分别是平面?的垂线、斜线，AO是PO在平面?上的射影。a? ?，a⊥AO。 求证： a⊥PO 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 三垂线定理 A ? a O P 证明： a⊥PO PA⊥? a ? ? AO⊥a， AO与PA相交 a⊥平面PAO PO?平面PAO PA ⊥a P C B A 例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC 证明：∵PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC?平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC 例2 直接利用三垂线定理证明下列各题： (1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1 (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM A D C B A1 D1 B1 C1 (1) (2) B P M C A (3) P O A B C D P M C A B P A O a α A1 C1 C B B1 O A α a P 我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 解题回顾 ，怎么找？ 三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？ 一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件 解题回顾 P A O a α P A O a α b c d e 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是： ①相交直线 ②异面直线 使用三垂线定理还应注意些什么？ 解题回顾 直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。 P A O a α 例如：当 b⊥? 时， b⊥OA 注意：如果将定理中 “在平面内”的条件 去掉，结论仍然成立 吗？ b 但 b不垂直于OP 解题回顾 P A O a α 三垂线定理包含几种垂直关系？ ②线射垂直 P A O a α ①线面垂直 ③ 线斜垂直 P A O a α 直 线 和 平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 线射垂直 线斜垂直 P A O a α P A O a α 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 ？ 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。 P A O a α 已知：PA，PO分 别是平面? 的垂线和斜 线，AO是PO在平面? 的射影,a ? ? ,a ⊥PO 求证：a ⊥AO 三垂线定理的逆定理 *