专题三 第2讲.docx

第2讲　三角变换与解三角形考情解读　1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sin A＝，sin B＝，sin C＝.a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.6．面积公式S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．热点一　三角变换例1　(1)已知sin(α＋)＋sinα＝－，－α0，则cos(α＋)等于(　　)A．－B．－C.D.(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则(　　)A．3α－β＝B．2α－β＝C．3α＋β＝D．2α＋β＝思维启迪　(1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋π)进行比较．(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系．答案　(1)C　(2)B解析　(1)∵sin(α＋)＋sinα＝－，－α0，∴sinα＋cosα＝－，∴sinα＋cosα＝－，∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－cosα－sinα＝.(2)由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)．∵α∈(0，)，β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α，∴2α－β＝.思维升华　(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．　设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f()＝0，求的值．解　(1)f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x.所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，最大值为.(2)因为f()＝0，所以－sinθ＝0，即sinθ＝，又θ是第二象限角，所以cosθ＝－＝－.所以＝＝＝＝＝＝.热点二　解三角形例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2sinA，＋＋＝0.(1)求边c的大小；(2)求△ABC面积的最大值．思维启迪　(1)将＋＋＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cosC，进而求c.(2)只需求ab的最大值，可利用cosC＝和基本不等式求解．解　(1)∵＋＋＝0，∴ccosB＋2acosC＋bcosC＝0，∴sinCcosB＋sinBcosC＋2sinAcosC＝0，∴sinA＋2sinAcosC＝0，∵sinA≠0，∴cosC＝－，∵C∈(0，π)∴C＝，∴c＝·sinC＝.(2)∵cosC＝－＝，∴a2＋b2＋ab＝3，∴3ab≤3，即ab≤1.∴S△ABC＝absinC≤.∴△ABC的面积最大值为.思维升华　三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．几种常见变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R为△ABC外接