专题三 第2讲 三角变换与解三角形.ppt

(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 思维启迪 利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数. 解　假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d， 此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m， 所以由余弦定理得 (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min， 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在 (单位：m/min)范围内. 求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答. 思 维 升 华 变式训练3 如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼 作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏 东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每 小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民.此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？( ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45) 解　过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D. 因为∠CAD＝45°，AC＝10海里， 所以△ACD是等腰直角三角形. 在Rt△ABD中，因为∠DAB＝60°， 因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行， 1.求解恒等变换问题的基本思路 一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下： (1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心. (2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”. (3)再次观察代数式的结构特点. 本讲规律总结 2.解三角形的两个关键点 (1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a＝2Rsin A，sin A＝ (其中2R为三角形外接圆的直径)，a2＋b2－c2＝2abcos C等，灵活根据条件求解三角形中的边与角. (2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sin C，sin ＝cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等. 3.利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型. 真题感悟 押题精练 真题与押题 1 2 真题感悟 1 2 真题感悟 用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， 答案　C 真题感悟 2 1 2.(2014·江苏)若△ABC的内角满足sin A＋ sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________. 真题感悟 2 1 专题三 三角函数与平面向量 第 2讲 三角变换与解三角形 主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合. 2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查． 考 情 解 读 主干知识梳理 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 3．三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. 7．解三角形 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解． (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理