世纪金榜-选修4-4 第一节.ppt

【思路点拨】（1）可以先求出圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程，也可以结合图形解直角三角形直接得到圆的极坐标方程. （2）先求直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程，也可以利用正弦定理直接求直线的极坐标方程. 【规范解答】（1）方法一:在极坐标系中，圆心 的直 角坐标为 由半径为1，得圆的直角坐标方程为 由公式 得 即 为所求. 方法二:设圆上任意一点的极坐标为M(ρ,θ)，如图， 在△OMP中， 即 为所求. 答案： （2）方法一:在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为 故 直线的斜率为 直线又过点（2,0），所以直 线的方程为 由公式 得 即 化简，得 即 为所求. 方法二:设直线上的任一点的极坐标为P(ρ,θ), 因为 所以 根据正弦定理得 即 即 答案： 【拓展提升】求曲线方程的方法步骤 （1）求曲线方程，首先要根据条件建立适当的平面直角坐标系（或极坐标系）. （2）设出曲线上任意一点的坐标为M（x,y），找出此动点满足的几何条件，最后通过代数变换化简方程即可. 【提醒】在平面直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法、定义法、相关点法.在极坐标系中，求曲线的极坐标方程以上几种方法仍然是适用的. 【变式训练】如图，点A在直线x=3上移动， 点O，P，A按顺时针方向排列，等腰△OPA 的顶角∠OPA为 则点P的轨迹的极坐 标方程为_______. 【解析】以O作为极点，Ox轴的正方向为极轴，建立极坐标系，则直线x=3的极坐标方程为 设A（ρ0，θ0），P（ρ，θ）. ∵点A在直线ρcos θ=3上, ∴ρ0cos θ0=3 ①, ∵△OPA为等腰三角形，且 ∴ 代入①得 即 为所求. 答案： 考向 4 极坐标方程化为直角坐标方程 【典例4】（1）（2012·安徽高考）在极坐标系中，圆 ρ=4sin θ的圆心到直线θ= (ρ∈R)的距离是______. (2)在极坐标系下，直线 与圆 的公共 点个数是_______. 【思路点拨】(1)先求直线与圆的直角坐标方程，再用点到直线的距离公式计算. （2）先求直线与圆的直角坐标方程，再判断直线与圆的位置关系即可求得. 【规范解答】（1）圆ρ=4sin θ，即x2+(y-2)2=4的圆心 为C(0,2)，直线l: 即 点C到直线l的距离是 答案： (2)直线 即ρcos θ+ρsin θ=2， 故直角坐标方程为x+y=2. 圆 的直角坐标方程为x2+y2=2， 圆心（0,0）到直线x+y=2的距离满足 即直线与圆相切，所以直线与圆的公共点个数是1. 答案：1 【拓展提升】极坐标方程与直角坐标方程的转化公式 由公式 可以将极坐标方程化为直角坐标方程， 由公式 可以将直角坐标方程化为极坐标方程. 【提醒】注意曲线方程互相转化时的等价性. 【变式训练】（1）极坐标系中,直线l的方程为ρsin θ=4, 则点 到直线l的距离为_____. 【解析】直线l：ρsin θ=4的直角坐标方程为y=4, 点(2, )的直角坐标为 则点到直线l的距离为3. 答案：3 （2）在极坐标系中，圆 上的点与直线 的最大距离是_____. 【解析】圆的极坐标方程 即ρ2=-2ρsin θ，化为直角坐标方程为x2+y2+2y=0， 配方，得x2+(y+1)2=1， 可得圆心为(0,-1),半径为1. 直线的极坐标方程 即ρcos θ+ρsin θ=2 化为直角坐标方程为x+y-2=0， 圆心(0,-1)到此直线的距离为 所以直线与圆相离，所以圆上的点与直线的最大距离 是 答案： 1.直线ρcos θ=3的倾斜角等于_______. 【解析】直线ρcos θ=3的直角坐标方程为x=3，所以直线 的倾斜角为 答案： 2.（2013·丰台模拟）在极坐标系中，圆ρ=2sin θ的圆心 的极坐标是_________. 【解析】方法一:圆ρ=2sin θ的圆心为 方法二:圆ρ=2sin θ的直角坐标方程为x2+y2=2y， 圆心坐标为(0,1)，化为极坐标为 答案： 3.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为 则圆心的极坐标为________. 【解析】∵圆的极坐标方程是 即 则该圆的直角坐标方程为 即 它表示以 为圆心，半径等于2的圆, O