中南大学概率论课件 2.5多维随机变量及其分布.ppt

3 二维连续型随机变量的联合分布密度 2.5.3、 条件分布 （1） 二维离散型随机变量的条件分布 定义2.10 设(X,Y)是二维离散型随机变量， 条件分布律的性质 例7.已知(?, ? ) 的联合分布律为 1/4 1/4 1/4 1/4 P(?=xi) 3/48 1/16 0 0 0 4 7/48 1/16 1/12 0 0 3 13/48 1/16 1/12 1/8 0 2 25/48 1/16 1/12 1/8 1/4 1 P(?= yj) 4 3 2 1 ? (1/16)/(25/48) =3/25 (1/12)/(25/48) =4/25 (1/8)/(25/48) =6/25 (1/4)/(25/48)=12/25 p 4 3 2 1 ? 解:由公式P(? =xi| ? =yj) P(? =yj | ? =xi) i=1,2,3,4 0 0 (1/8)/(1/4)=1/2 (1/8)/(1/4)=1/2 p 4 3 2 1 η 设(X , Y)是二维连续型随机变量，由于对任意 x, y, P(X =x)=0, P(Y =y)=0 ，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义. 2、连续型随机变量的条件分布 定义2.12 设二维连续型随机变量（?，?）的分布函数为　　　，分布密度函数为　 f (x,y)，且f (x,y)和边缘分布密度函数　　 连续， 则在　　　的条件下? 的条件分布函数为　　 又若边缘分布密度函数　　　连续， 则在　　　的条件下? 的条件分布函数为　　 求 P(? 1| ? =y) 例8 设（?，?）的概率密度是 解: P(? 1| ? =y) 为此, 需求出 由于 于是对y0, 故对y0, P(? 1| ? =y) 例9设（?，?）服从单位圆上的均匀分布，概率 密度为 求 解： ?的边缘密度为 即 当|x|1时,有 当|x|1时,有 例10 设（?，?）联合概率密度为 求?与?的条件概率密度 解： x y 0 1 y=x §2.5.4 随机变量的独立性 定义2.13 称随机变量X与Y独立，如果对任意实数ab,cd，有 p{aX?b,cY?d}=p{aX?b}p{cY?d} 即事件{aX?b}与事件{cY?d}独立，则称随机变量X与Y独立。 定理：随机变量X与Y独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y) 定理2.2 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y) 定理2.3 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi?.P?j 。 由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可。 例11 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (1)求边缘概率密度fX(x)与fY(y); (2)问X和Y是否相互独立. 解 X的边缘概率密度为 Y的边缘概率密度为 显然 所以X,Y不相互独立. 例12 例13.已知随机变量(X,Y)的分布律为 且知X与Y独立，求a、b的值。 Y 解 X的边缘分布律为 P(X=0)=0.3, P(X=1)=a+b, Y的边缘分布律为 P(Y=1)=0.15+a, P(Y=2)=0.15+b, 因为X与Y独立，所以 P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1) 从而 0.15=0.3（0.15+a) 得 a=0.35 又 a+b=0.7 所以 b=0.35 例14 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 X Y 2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 求(1)关于X和关于Y的边缘分布律?(2)X,Y是否相互独立 解 关于X的边缘分布律是 X p 2 5 8 0.2 0.42 0.38 关于Y的边缘分布律 Y p 0.4 0.8 0.8 0.2 因为 P(X=2,Y=0.4)=0.15 而 P(X=2)P(Y=0.4)=0.2×0.8=0.16 P(X=2,Y=0.4) ≠ P(X=2)P(Y=0.4) 所以X,Y不相互独立. 例13 （不讲） 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，(0p1)， 射击进行到击中目标两次为止. 以?表示首次击中