正规矩阵的性质及判定.pdf

第 26卷第 lO期 内江师范学院学报 No．10Vo1．26 JOURNAL OFNEUIANG NORMALUNIVERSITY · 7 · 正规矩阵的性质及判定 彭志平 ， 何偬钰， 邓 泽 ， 刘 熠 (内江师范学院 数学与信息科学学院， 四川 内江 641lOO) 摘 要 ：根据伴随矩阵以及全转置矩阵的性质，研究 了正规矩阵的若干性质，得到了正规矩阵的若干等价刻 画．特别地 ，得到了高次混合伴随阵正规 以及分块矩阵正规的充分必要条件． 关键词 ：正规矩阵；伴 随矩 阵；全转置矩阵；高次混合伴随阵 中图分类号 ：O151．2 文献标志码 ：A 文章编号 ：1671—1785(2011)10—0007--04 0 引言 1 基本概念与引理 向量空间是一类非常重要而又经典 的代数结 构 ，酉空间与欧氏空间是两类特殊的向量空间，欧氏 空间是实数域 R上的向量空间，而酉空 间却是欧氏 空间在复数域上的 自然类比．在一般教材 [1 中均介 绍了酉空间、酉矩 阵和 Hermite矩阵 的概念 ，以及 它们 的相关性质．在讨论矩 阵的酉等价时产生的一 类矩阵一正规矩阵[3]，一般教材均没有研究正规矩 阵．正规矩阵在矩阵分析中占有重要的位置，并且它 还推广 了酉矩阵、实对称矩 阵和 Hermite矩 阵，因 此这也引起了一些学者对正规矩阵的研究兴趣．近 年来 ，许多学者对正规矩阵的一些性质与一些等价 条件做了一系列的研究，主要集中文献[4—7]． [三]则称B为A的全转置矩阵，记作 在欧氏空间中，A∈ (R)，A是正规矩 阵，如 果AA =AA．对于实正规矩阵 的研究 ，包霞L6给 n 出了实 正 规 矩 阵 的充 要 条件 是 。n 一 k。。。=——l H ：an 而在酉空间中，为了讨论矩阵的酉等价， ^一 1 得到了复正规矩阵的概念 ，即：A是复正规矩阵，如 果A 一 rA，其 中A∈M (C)且 为A 的共轭 转置矩阵．本文在上述文献的基础上 ，主要从伴随矩 阵，全转置矩阵以及高次混合伴随阵来进一步研究 复正规矩阵的性质以及等价条件． 收稿 日期 ：2011-06—17 基金项 目：四川省教育厅青年基金 (08ZB082)资助；内江师范学院大学科研基金 (1lNSD--213) 作者简介 ：彭志平(1989--)，男，~tJl[内江人 ，内江师范学院 2009级学生． *通讯作者：刘熠(1979一)，男，四川仪陇人，内江师范学院讲师．研究方向：智能信息处理． 万方数据 · 8 · 内江师范学院学报 第 26卷第 1O期 设 A= (n )×是数域 F 上 的 阶方阵 ，A 和 A + + + lkI。E． M 分别为 阶方阵A 的代数余子式和余子式且记 由于A是 复正规 矩 阵，故 A 一 A．因此 (A+ 为A 一(A )．A===(M )． kE)(A+kE)一(A+ ) (A+悫E)．从而A+kE为 引理 1．2 设A和C为 阶方阵 ，其中 正规矩阵． 反之，若 A+舾 为正规矩阵 ，则必有 一 l (A+kE)(A十 足E) 一 (A+kE) (A+kE)， C== 即 一 1