15.动力学-动能定理-2017年10月.ppt

1 有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。 三．有势力的功 在M1位置：　 M2位置： M1→M2： 1.重力场 质点： 质点系： 2. 弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点 设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力) 作用，则 —机械能守恒定律 　对非保守系统，设非保守力的功为W12 , 则有 四．机械能守恒定律 　机械能：系统的动能与势能的代数和。 这样的系统成为保守系统。 [例9] 长为l，质量为m的均质直杆， 初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆 无初速度地倾倒后，求质心的速度 （用杆的倾角? 和质心的位置表达）。 解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功， 主动力为有势力，因此可用 机械能守恒定律求解。 由机械能守恒定律： 将　　　　　代入上式，化简后得 初瞬时： 任一瞬时： §15.4　动力学普遍定理的综合应用 　 动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。 　 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。 　 求解过程中，要正确进行运动分析， 提供正确的运动学补充方程。 　 举例说明动力学普遍定理的综合应用： [例10] 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。 讨论 ① 动量守恒定理＋动能定理求解。 　　 ② 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。 解：由于不求系统的内力，可以不拆开。 研究对象：整体 分析受力：　　　　， 且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。 代入动能定理： [例11] 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角?，摩擦系数 f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。 解：选系统为研究对象 运动学关系： 由动能定理： 对ｔ求导，得 [例12] 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。 解：（1）取圆盘为研究对象 ，圆盘平动。 （2）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时： 代入数据，得 （3）用动量矩定理求杆的角加速度? 。 由于 所以 ?＝0 。 杆质心 C的加速度： 盘质心加速度： （4）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。 代入数据，得 ① 相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。 ② 可用对积分形式的动能定理求导计算?，但要注意需取杆AB在 一般位置进行分析。 [例13] 基本量 (动量、动量矩、动能)计算。 [例14] 提升机构的鼓轮半径为 ，重为 ，可绕轴心 转动，已知转动惯量为 。若在轮上加一常力偶矩M，使鼓轮上卷绕的绳子吊起一重为 的物体，物体自静止开始上升，略去绳重和各处摩擦，如图所示。求重物上升时的加速度a 以及轴承O的约束反力。 解：本题是已知主动力求系统的运动及约束反力的问题，需要综合应用动力学普遍定理。先可利用动能定理求重物的加速度。研究整体，假设鼓轮绕转轴O转过角度 。 主动力所作的功为 根据动能定理，有 两边对时间求导得角加速度 系统动能为： 于是重物上升时的加速度为 再利用动量定理求支座反力。研究整体，受力分析如图所示。系统在y方向的总动量为 所有外力在y方向的代数和为 根据动量定理微分形式，有 解得 把上面已求得的加速度代入上式，有 [例15] 质量为m 的杆置于两个半径为r ，质量为 　的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力P时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。 解：(1) 用动能定理求解。 取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为v，则圆柱体质心速度为v/2，角速度 。 主动力的元功之和： 由动能定理的微分形式： 系统的动能 (2) 用动量矩定理求解 　取系统为研究对象 根据动量矩定理