DVD在线租赁(2005年数学建模D题).ppt

DVD在线租赁 2005年数学建模D题 4.2 问题2模型 表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001～C0030）分别获得哪些DVD。 注：D001～D020表示20种DVD, C0001～C0100表示100个会员，会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。 决策变量 要确定把哪张DVD租给哪个会员，即分配方案，对于每种DVD,每个会员都要知道是租还是不租。因此我们引入 表示第j种DVD是否租给第i个会员。 分析： 如果会员预定的3张DVD不全有，是否就不租？为使全体的满意度最高，可以先租部分缓解一下。因此，每次租赁可以少于或等于3张。 会员满意度的数字越小，则满意度越高。注意到0最小，但是并不表示满意，因此，要对表中数据处理，使其能显示出满意的一致性（数字大表示满意，或相反）。 符号： 表示i个会员对j种DVD的满意度数字（表格数据） 表示i个会员对j种DVD的偏爱系数 目标函数 总体满意度最高（租到的会员对DVD的偏爱系数和 最大） 约束条件 每人至多租3张DVD； 每种DVD租出去的量小于或等于存量； 为j种DVD的存量 因此，建立模型 模型Ⅳ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题： 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？ 问题重述 选择关键信息，理清思路 信息： 每个会员每月至多租2次 每次租赁可租3张（寄回可再租）； 60％会员每月租2次，40％会员每月租1次 4.1 问题1模型 调查1000名会员，有以下观看意愿的统计： 10 25 50 100 200 愿意观看的人数 DVD5 DVD4 DVD3 DVD2 DVD1 DVD名称 至少要准备多少张DVD（上述5种），才能使： 10万会员中，至少50％能看到想看的DVD？（一个月内） 10万会员中，至少95％能看到DVD？（三个月内） 分析： 要满足一定的观看人数，同时为了节约采购费用，又要尽可能少买些DVD。显然，这是个优化问题。 就DVD1来说，1000名被调查者里面有200人想看，意味着10万名会员里面有 人想看，如果每张DVD每个月只出租一次，则则DVD1就准备 张。但是这样谈不上优化，也不能提高DVD利用率。所以有二次出租。 如果考虑实际情况，每张DVD还的时间不一样，有些DVD多租几次，有些只会被租一次，则情况就很复杂。有必要转变考虑角度。尝试从简单的角度考虑。 从最保守的估计看：如果一个会员一个月租2次的话，可以简单的认为每次租赁的DVD在他手上停留15天；租一次的会员DVD在手上停留30天。则我们在月初第一次发出DVD后，月中利用返还的DVD再出租一次。 4.1.1.1简单模型的建立 决策变量 表示需要准备DVD1的张数。 目标函数 找到最小的 1% 2.5% 5％ 10％ 20％ 愿意观看的比例 DVD5 DVD4 DVD3 DVD2 DVD1 DVD名称 为方便下面讨论，先算出愿意观看的人数比 符号假设： 为希望看到DVD1的会员人数比； 为网站总人数；（这里 ） 约束条件 一个月内租到DVD的人占想看的人50％以上。 （第一次出租 张，月中有 ？ 张还回来，再次租出去。） 整理得 模型I 解得 ，即最少需要数量： 。 利用模型I