复变函数8(全).ppt

第六章 保形映射 z 平面内的任一条有向曲线C可用 z=z(t), a?t?b表示, 它的正向取为t增大时点z移动的方向, z(t)为一条连续函数. 如果z (t0)?0,at0b, 则表示z (t)的向量(把起点放取在z0. 以下不一一说明)与C相切于点z0=z(t0). 事实上, 如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向, 则这个方向与表示 的方向相同. 我们有 Arg z (t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角; 相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角 1.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f ‘(z0)?0. 又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线: z=z(t), a?t?b,且z0=z(t0), z (t0)?0, at0b. 映射w=f (z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点w0=f (z0)的一条有向光滑曲线G : w=f [z(t)], a?t?b . 根据复合函数求导法, 有w (t0)=f (z0)z (t0)?0.因此, 在G上点w0处也有切线存在, 且切线正向与u轴正向的夹角是Arg w (t0)=Arg f (z0)+Arg z (t0). 2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关. 所以这种映射具有转动角的不变性. 相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角, 在其大小和方向上都等同于经w=f (z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角, 所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性. 称为曲线C在z0的伸缩率. 2. 保形映射的概念定义 设函数w = f (z)在z0的邻域内是一一的, 在z0具有保角性和伸缩率不变性, 则称映射w = f (z)在z0是保形的, 或称w = f (z)在z0是保形映射. 如果映射w = f (z)在D内的每一点都是保形的, 就称w = f (z)是区域D内的保形映射. 定理二 如果函数w =f (z)在 z0 解析, 且 f (z0)?0, 则映射w=f (z)在 z0 是保形的, 而且Arg f (z0)表示这个映射在 z0的转动角, |f (z0)|表示伸缩率. 如果解析函数w=f (z)在 D内是一一的， 且处处有f (z)?0, 则映射w=f (z)是 D内的保形映射. 在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对应边长之比近似为|f (z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形近似相似. §2 分式线性映射 两个分式线性映射的复合, 仍是一个分式线性映射. 例如 也可将一般的分式线性映射分解为一些简单映射的复合, 由此可见, 一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成: 下面讨论三种映射, 为了方便, 暂且将w平面看成是与z平面重合的. i)w=z+b. 这是一个平移映射. 因为复数相加可以化为向量相加, z沿向量b的方向平移一段距离|b|后, 就得到w. ii) w=az, a?0. 这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射. 设 a=leia 将 z 先转一个角度a, 再将|z|伸长(或缩短) l倍后, 就得到 w. 圆周的对称点 OP?OP=r2, 因为DOPT相似于DOPT. 因此, OP:OT=OT:OP, 即OP?OP=OT2=r2. 1.保角性 而i)与ii)是平移，旋转和伸缩变换显然是保形的，所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复平面上是保形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的,因此有 2.保圆性映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性, （这里将直线看作是无穷大半径的圆）这种性质称作保圆性. 映射w=az+b显然具有保圆性,下面说明w=1/z具有保圆性. 因此, 映射w=1/z将方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0变为方程 d(u2+v2)+bu-cv+a=0。 当a?0,d?0：圆周映射为圆周;  当a?0,d=0：圆周映射成直线; 当a=0,d?0：直线映射成圆周； 当a=0,d=0：直线映射成直线.  这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者说, 映射w=1/z具有保圆性. 根据保圆性, 在分式线性映射下, 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点, 则它就映射成半径为有限的圆周; 如果有一个点映射成无穷远点, 它就映射成直线.