2.3.2离散型随机变量方差.pptx

2.3.2　离散型随机变量的方差探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 5学习目标思维脉络1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法,会利用公式求它们的方差.1.离散型随机变量的方差、标准差(1)定义:设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度,而D(X)=为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,我们称D(X)为随机变量X的方差,并称其算术平方根为随机变量X的标准差.(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.(3)离散型随机变量的方差的性质:设a,b为常数,则D(aX+b)=a2D(X).试一试已知X的分布列如下表:X-101P若Y=3X-1,则D(Y)的值为(　)A.-1　B.5　C.10　D.20解析:E(X)=(-1)×+0×+1×=-.∴D(X)=.∵Y=3X-1,∴D(Y)=9D(X)=5.答案:B2.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p);(2)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).做一做已知两名射手每次射击中靶的概率分别为0.8和0.7,则每射击3次中,两名射手的方差分别为(　)A.0.8,0.7B.2.4,2.1C.0.48,0.63D.0.16,0.21解析:两名射手独立射击3次中靶次数都服从二项分布,即X~B(3,0.8),Y~B(3,0.7),所以D(X)=3×0.8×0.2=0.48,D(Y)=3×0.7×0.3=0.63.答案:C探究一求离散型随机变量的方差求离散型随机变量的方差的步骤:(1)列出随机变量的分布列;(2)求出随机变量的均值;(3)求出随机变量的方差.典例提升1 袋中有20个大小相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、均值和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.思路分析:(1)根据题意,由古典概型概率公式求出分布列,再利用均值、方差公式求解.(2)运用E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=a2D(X),求a,b.解:(1)X的分布列为X01234P则E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5.D(X)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.(2)由D(Y)=a2D(X),得a2×2.75=11,得a=±2.又E(Y)=aE(X)+b,所以,当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.所以??变式训练1??袋中有大小相同的小球6个,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差.解:由题意可知,X的所有可能的取值为5,4,3.P(X=5)=,P(X=4)=,P(X=3)=.故X的分布列为X543PE(X)=5×+4×+3×=4.D(X)=(5-4)2×+(4-4)2×+(3-4)2×.探究二离散型随机变量的方差的应用离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中,需先计算均值,看谁的平均水平高,然后再计算方差,分析谁的水平发挥相对稳定.当然不同的情形要求不同,应视情况而定.典例提升2 2015年4月1日至7日是江西省“爱鸟周”,主题是“关注候鸟保护,守护绿色家园”.为更好地保护鄱阳湖候鸟资源,需评测保护区的管理水平.现甲、乙两个野生动物保护区有相