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二次函数恒成立与根的分布问题 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 一、选择题 1 ．已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值是 （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2 ．对于一切恒成立，则实数的取值范围 （　　） A． B． C． D． 3 ．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 4 ．已知,并且是的两根,则实数的大小关系可能正确的是 （　　） A．B． C．D．5 ．已知函数,方程有6个不同的实根,则实数的取值范围是 . . . . 二、填空题 6 ．若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围为________ 7 ．在恒成立，则的取值范围是_____________________． 8 ．是定义在R上的奇函数，且当，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是 9 ．已知函数f(x)=x2+2x+1，若存在t，当x∈[1,m]时，f(x+t)≤x恒成立，则实数m的最大值为 10．关于x的方程有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围为__________. 11．的方程只有负实根，则实数的取值范围是_________； 12． 13．是正整数），，方程有两个小于1的不等正根，则a的最小值为__ __． 14．的方程的两根均在内，则实数a的取值范围为__________. 三、解答题 15．（，为为实数），． （1）若函数的最小值是，求的解析式； （2）在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围. 16． （1）若任意恒成立，求实数的取值范围 （2）若方程在区间上有解，求实数的取值范围。 17．18．(文)设函数.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围.19．已知二次函数,且.(1)若函数与轴的两个交点之间的距离为2,求的值;(2)若关于的方程的两个实数根分别在区间内,求的取值范围. 20．已知函数R). ⑴若的图象与轴恰有一个公共点，求的值； ⑵若方程至少有一正根，求的范围. 21．若关于的方程在内有个实根，则的取值范围是 22．的方程. (1) 求证：方程有两个不相等实根。 (2) 的取值范围 二次函数恒成立与根的分布问题参考答案一、选择题 1 ．D 2 ．A 3 ．D4 ．C 5 ．C 二、填空题 6 ．7 ．8 ． 9 ．10． 11．12． 13．514． 三、解答题 15．=-+1=0 又 = -1 故而 =1 ，=2 即y = (2 ) 由 x+ k 有 问题转化为求函数在x上的最小值 又函数在上为减函数 故==1 所以k 1 16．恒成立，又 解得 （2）在区间上有解，又 在区间上有解 由得 当时，由（1） 因此实数的取值范围是：。 17． f（x）min=3+2a≥aa≥－3.故此时－3≤a≤－1. 当a＞－1时，f（x）min=f（a）=a2－2a2+2=2－a2， x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立f（x）min=2－a2≥a－2≤a≤1.故此时－1＜a≤1. 由（1）（2）知，当－3≤a≤1时，x∈［－1，+∞），f（x）≥a恒成立. 18．解:(Ⅰ),当时,取最小值,即.(Ⅱ)令,由得,(不合题意,舍去).当变化时,的变化情况如下表: 递增极大值递减 在内有最大值.在内恒成立等价于在内恒成立,即等价于,所以的取值范围为.命题意图:使文科学生熟悉导数的基本应用,巩固处理此类问题的通性通法.本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用. 19．(1)由题可知,又(2)令由题, 20．，则,的图象与轴的交点为，满足题意. 若，则依题意得：，即. 故或. ⑵显然. 若，则由可知,方程有一正一负两根，此时满足题意. 若,则 时，,不满足题意. 时，方程有两负根,也不满足题意. 故. 21． 22．知 方程有两个不相等实根。 (2)设 (若方程的两个根中，一根在上，另一根在上,则有. 当时方程的两个根中,一根在上，另一根在上. 第1页，共2页