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第三讲 数据处理与程序设计 主要内容： 一、数据的数值处理：插值、拟合 二、Mathematica的编程基础 三、输入与输出 四、实例分析 问题的引入 引例1:在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为(度) 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13.请推测中午1点（即13点）时的温度。 引例2:在化学反应中,为研究某化合物的浓度随时间的变化规律,测得一组数据如下,请给出变化规律,以此推测20,40分钟时的值. 利用已给出的值,计算相关的值 设有一组实验观测数据(xi,yi),i=0,1,…n, 如何揭示自变量x与因变量y之间的关系？ 寻找近似的函数关系表达式y=f(x) 常用的方法:插值与拟合 插值 给定n+1个插值点(xi,yi), i=0,1,2,…,n, 构造次数不超过n的多项式p(x), 使p(xi)=yi, 则称p(x)为插值多项式。 构造插值对象的函数： Interpolation[data,InterpolationOrder—n] 功能： 对数据data进行插值运算，并可设置插值多项式的次数n, 默认值为3。 注: 生成一个InterpolatingFunction[插值范围，]目标，不显示所构造的函数。 所得目标为近似函数 数据data的表示形式 {{x0,f0},{x1,f1},…,{xn,fn}} (平面点的坐标) {f1,…,fn} (点的纵坐标，第i个点的横坐标为i) {{x0,{f0,df0}},{x1,{f1,df1}},…,{xn,{fn,dfn}}} (点的函数值及一阶导数值) 引例1求解 引例1:在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为(度) 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13. 推测中午1点(即13点)时的温度。 解： data={{0,12},{2,9},{4,9},{6,10},{8,18},{10,24},{12,28},{14,27},{16,25},{18,20},{20,18},{22,15},{24,13}} ListPlot[data] 选取不同的阶数n,构造插值多项式 Interpolation[data,InterpolationOrder—n] 绘出一天24小时的温度曲线 注： 依据散点图，推测插值多项式的阶数 分段插值 三次插值多项式较为通用 拟合 根据一组二维数据，要求确定一个一元函数y=f(x)，使这些点与曲线y=f(x)总体来说尽量接近，这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合。 拟合的原理：最小二乘法 格式：Fit[数据，拟合函数的基，变量] 功能：用数据data，按给定的变量和拟合函数的基构造拟合函数。 常用的几种格式： Fit[data,{1,x},x] 用数据data作线性拟合函数a+bx Fit[data,Table[x^i,{i,0,n},x] 做n次多项式拟合 Exp[Fit[Log[data],{1,x},x]] 拟合曲线为ea+bx 引例3求解 引例3:在化学反应中,为研究某化合物的浓度随时间的变化规律,测得一组数据如下,请给出变化规律,以此推测20,40分钟时的值. 解：构造数据表： data={{1,4},{2,6.4},{3,8.0},{4,8.4},{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{8,9.86},{9,10},{10,10.2},{11,10.32},{12,10.42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.58},{16,10.6}} 画出散点图，并分别作3次、4次、5次、6次多项式拟合，求出其误差，比较、判断几次拟合较为合适。 选取其它基： 作拟合，并作比较。 数据拟合的一般过程： 首先考察数据来源,确定有无经验公式,有则可直接根据经验公式进行拟合; 若无经验公式,观察其散点图,分析与其形状大致相似的函数图形(必要时可将函数分段).选择拟合函数的类型,特别是确定逼近基函数; 确定拟合函数,画出拟合函数的图形; 将拟合函数的图形与数据点的图形比较,调整拟合函数. 插值与拟合 插值要求函数在每一个观测点处一定要满足yi=f(xi). 拟合主要考虑到观测数据受随机误差的影响,寻求整体误差最小、较好反映观测数据的近似函数. 当最小二乘拟合中逼近基函数的个数等于所给的数据点的个数时，所做的拟合即为插值。 二、Mathematica编程基础 1.过程的基本构成 2.条件控制结构 3.循环控制结构 1、过程的基本构成 过程是用分号隔开的表达式序列,也称为复合表达式.