初二数学 作辅助线构造三角形全等.doc

课 题 构造辅助线证明三角形全等 教学目标 1.掌握几种在全等三角形的证明题中常用的几种辅助线的添加方法； 2.能够用所添加的辅助线解决几何问题. 重点、难点 正确添加辅助线； 2.利用辅助线将条件结合起来。 考点及考试要求 三角形的全等证明，可与函数结合起来考察。 教学内容 一、检查上次课的作业完成情况 二、解答学生在学校遇到的问题 三、主要知识点回顾 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． （2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． （4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” （5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 【例题讲解】 一、倍长中线（线段）造全等 1.已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 2.如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 3.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 二、截长补短 1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC. 2.如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD. 3.如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP. 4.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：. 5.如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC. 6. 三、平移变换 1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞. 2.如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE. 四、借助角平分线造全等 1.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD. 2.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长. 五、旋转 1.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数. 2.D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F. (1)当绕点D转动时，求证DE=DF. (2)若AB=2，求四边形DECF的面积. 3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 . 【巩固练习】 1、如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． 2、在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，CE⊥BD的延长线于E，∠1=∠2求证：BD＝2CE． 3.如图2－1，在四边形ABCD中，AC平分若ABAD,DC=BC,求证： 4.如图，AM为△ABC的中线，AE⊥AB，AF⊥AC，且AE=AB，AF=AC，MA的延长线交EF于点P，求证：AP⊥EF。 B C D E A 2 1