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三种常用的正交坐标系 1、直角坐标系 2、圆柱面坐标系 4、坐标单位矢量之间的关系 张量分析 南京工业大学 第四章 摩擦 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。 位置矢量 面元矢量 线元矢量 体积元 坐标变量 坐标单位矢量 点 P(x0,y0,z0) 0 y y = （平面） o x y z 0 x x = （平面） 0 z z = （平面） P 直角坐标系 x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o d z d y d x 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 3、球面坐标系 球面坐标系 球坐标系中的线元、面元和体积元 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 直角坐标与 圆柱坐标系 圆柱坐标与 球坐标系 直角坐标与 球坐标系 o q r z 单位圆 柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系 q q o f x y 单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系 f 已知:（1）圆柱坐标系如图（a），r =x1，? =x2，z =x3。 （2）球坐标系如图（b）， r =x1，? =x2，? =x3。 x3 O x2‘ x1 ? z r x3 O x2‘ x1 r ? ? 求：两种坐标系中： （1）gi 通过笛卡儿基 i，j，k 的表达式，画出简图。 （2）求 gi，说明 gi 和 gi 的大小与方向有何关系。 （3）由 gi 求 gij，gij， 。 推导过程（见黄克智张量分析第二版习题1.13） 解：（1） 圆柱坐标系： x3 O x2‘ x1 ? z r g1 g2 g3 球坐标系： x3 O x2‘ x1 r ? ? g1 g2 g3 （2） 圆柱坐标系： 球坐标系： （3） 圆柱坐标系： x3 O x2‘ x1 ? z r d? dr dz r dr 球坐标系： x3 O x2‘ x1 r ? ? d? d? dr dr r 1.16 已知：圆柱坐标系中、球坐标系中矢量的逆变分量 v i。 利用题 1.13 结果分别求两个坐标系中的协变分量 vi 。 解： （1）圆柱坐标系 （2）球坐标系 1.17 求：题 1.13 所示圆柱坐标和球坐标 xi，与笛卡儿坐标 xj′ 的转换系数 解： 圆柱坐标系：