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三角形相似判定---预备定理
* * 相似三角形的判定之 预备定理 相似多边形的判定: 回顾: 对应角相等,对应边的比相等的两个多边形为相似多边形. 两个条件要同时具备 ? 对应角_______, 对应边——————的两个三角形, 叫做相似三角形 . 相等 成比例 性质? 相似三角形的———————, 各对应边——————。 对应角相等 成比例 A B C A C B ? 相似比: =k k?1 两三角形相似 k=1 两三角形全等 相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢? 思考: ∴△ABC∽△A′B′C′ ∵ 在△ABC和△A′B′C′中, 符号语言: 相似三角形的判定: 提出问题: 如图,在?ABC中,点D是边AB的中点,DE∥BC,DE交AC于点E ,?ADE与?ABC有什么关系? 探索发现: D A B C E 故△ADE∽ △ABC, 因为DE ∥ BC则∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB, 变式1:如图,若点D是AB边上的任意一点, 过点D作DE∥BC,量一量,检验△ADE与△ABC是否相似。 故△ADE∽ △ABC, 若DE ∥ BC则∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB, D A B C E F 变式2:若点D是BA延长线上的一点,过点D作DE∥BC,与CA的延长线交于点E,△ADE与△ABC相似吗? A B C E D G F ∵ DE∥BC ∴△ADE ∽ △ABC 从上面的问题中,DE与BC有何关系?你获得三角形之间的什么关系,如何用语言概括? 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 判定三角形相似的预备定理: 在△ABC中, ∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC 符号语言: A B C D E (图1) (图2) D E O B C “A”型 “X”型 1、如图,已知EF∥CD∥AB (1)请找出图中所有的相似三角形;并说明理由。 (2)如果OF=1,FB=3,那么EF:AB=_____。 练习: 三角形相似具有传递性! 1. EF∥AB 2.EF∥CD ΔOAB∽ΔOCD ΔOEF∽ΔOAB ΔOEF∽ΔOCD 或: ΔOEF∽ΔOCD ΔOEF∽ΔOAB A B F C D E O 3.AB∥CD ΔOAB∽ΔOCD 1:4 2、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形,并说明理由。 A B C D F E 练习: 三角形相似具有传递性! 1. DE∥BC 2.DF∥AC ΔADE∽ΔDBF ΔADE∽ΔABC ΔDBF∽ΔABC 3. ΔDBF∽ΔABC ΔADE∽ΔABC 3.如图,△ABC 中,DE∥BC,GF∥AB,DE、GF交于点O,则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来. 解: 与△ABC相似的三角形有3个: △ADE △GFC △GOE A B C D E F G O 例1、如图,△ABC中,DE∥BC,AB=8cm,AC=6cm,AE=4cm,DE=5cm, 求AD、BC的长。 C A B D E 典例: 3.如图,△ABC中, (1)D,E分别是AB,AC中点,求证: (2)若AD=5,BD=10,DE=7, 求BC的长. C A B D E 典例: 1.如图,DE∥BC, (1)如果AD=2,DB=3,求DE:BC的值; (2)如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的长. 练习: 2.如图,在□ABCD中,EF∥AB,DE:EA=2:3,EF=4,CD=_____. 3:如图,E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点,连结AE交CD于F,则图中共有相似三角形( ) A1对 B2对 C3对 D4对 4、如图,在 ABCD中,E是边BC上的一点,且BE:EC=3:2,连接AE、BD交于点F,则BE:AD=_____,BF:FD=_____。 5、如图,在△ABC中,∠C的平分线交AB于D,过点D作DE∥BC交AC于E,若AD:DB=3:2,则EC:BC=______。 A B C
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