上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第三章 控制系统状态空间表达式的解.ppt

第三章 控制系统状态空间表达式的解 3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） 3.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 3.3 线性定常系统非齐次方程的解 3.4 线性时变系统的解 3.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 一、状态转移矩阵 3.3 线性定常系统非齐次方程的解 给定线性定常系统非齐次状态方程为 第三章总结 3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） 3.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 3.3 线性定常系统非齐次方程的解 3.4 线性时变系统的解 3.4 证明： 3.4 二、线性时变系统状态转移矩阵 的基本性质 1、 2、 3、 5、计算时变系统状态转移矩阵的公式 4、 上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似 。 3.4 当满足 才可表示为如下矩阵指数函数形式 也可表示为，当满足 时， 三、线性时变系统非齐次状态方程的解 线性时变系统非齐次状态方程 其解为 3.4 证明：设解为 式中 满足 或 3.4 解应满足状态方程，即: 3.4 3.4 例：给定系统如下： 解：首先求 3.4 3.4 利用状态转移矩阵关系式 * 3.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） 自由解：系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 状态方程的齐次矩阵微分方程 给定初始时刻t0时的状态X(t0) ＝X0，则上式有唯一确定解 给定初始时刻t0＝0时的状态X(t0) ＝X0，则上式有唯一确定解 3.1 证明：和标量微分方程的求解相似 假设 代入齐次状态方程得 上式t的同次幂项的系数相等，有 3.1 由对X(t)的假设式，令 t＝0，则 b0=X(0)=X0 3.1 齐次矩阵微分方程的自由解 或 Φ(t) X0(t=0) X(t)(t=t) eAt称为状态转移矩阵，记为Φ(t) Φ(t1) X0(t=0) X(t2)(t=t2) 3.2 Φ(t2-t1) X(t1)(t=t1) Φ(t2) 状态空间表示法的一个特点（优点）： 状态的变化在时间上可以分段求取。 由此得状态转移矩阵的一个性质——组合性质： 3.2 二、状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质 1、性质一 （组合性质或分解性质） 2、性质二 3、性质三（可逆性） 3.2 4、性质四 5、性质五 和标量指数函数的性质不同 3.2 三、几个特殊的矩阵指数函数 1、若A为对角线矩阵 3.2 2、若A能够通过非奇异变换变为对角线矩阵 3.2 3、若A为约旦标准型矩阵 3.2 4、若 3.2 四、Φ(t)或eAt的计算 1、按定义直接计算法 例：已知 解： 2、将A变换为约旦标准型 1）A的特征值互异 3.2 例： 解： 3.2 变换矩阵为 3.2 2）A的特征值有重根 例： 求eAt 解： 3.2 将矩阵A变换为约旦标准形的变换矩阵为 3.2 3.2 3、利用拉氏反变换求eAt 证： 3.2 例： 求eAt 解： 3.2 4、利用凯勒-哈密尔顿定理求eAt 1)由凯勒-哈密尔顿定理，矩阵A满足其自身的特征方程，即 2)由1)及eAt的定义式可得 即An、An+1、…可用An-1,An-2,…,A,I表示 3) 3.2 证明： (1) A的特征值互异时，则 (2) A的特征值均相同为λ1时，则 3.2 证明： 3.2 例： 考虑如下矩阵 试用化 为A的有限项法计算 。 解： 可得相异特征值为λ1=0，λ2= -2。 3.2 由于λ1=0，λ2= -2，上述两式变为 求解此方程组，可得 3.3 证明：将方程写为 在上式两边左乘 ,可得 将上式由0积分到t，得 也可借助拉氏变换方法给出证明 3.3 例：求下列系统的单位阶跃响应 解：由前面例子已求出 系统对单位阶跃输入的响应为： 3.3 如果初始状态为零，即 ,可将 简化为 3.4 线性时变系统的解 一、线性时变系统的自由解 齐次矩阵微分方程 其解为 为线性时变系统的状态转移矩阵， 并满足如下矩阵微分方程和初始条件 *