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* * 数学化归方法 ——数学解题的一般方法 P278 第五章第四节 如果你解不出某道题，那肯定是有一个更容易的问题你尚未解决——找到它！ ————Ｇ．波利亞 解题就是把题归结为已经解过的题。 ——C.A.雅诺夫斯卡娅 化归方法的基本思想 ??化归的一般原则 ??化归的基本策略途径 关系映射反演方法 化归思想方法教育 所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化和归结的意思。 数学方法论中所论及的化归方法，是指数学中把待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。 一、化归方法的基本思想 待解决的问题A 易（已）解决的问题B 原问题A获解证 问题B的解 还原 （解释） 转化 （化归途径） 化归方法用框图可直观表示为： 推演 求解 所以化归应包括三个基本要素，即化归对象、化归目标和化归途径(或化归策略)。 匈牙利著名数学家路莎·彼得（RozsaPeter）在她的名著《无穷的玩艺》一书中曾对“化归方法”作过生动而有趣的描述： 如上所述的推理过程，对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题。当然，从陈旧的实用观点来看，以下的一个比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数学家中却是广为流传的； RózsaPéter（February 17, 1905 -February 16, 1977） “现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前，当你要烧水时，你应当怎样去做呢？” “往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶上” “你对问题的回答是正确的。现把所说的问题稍作修改，即假使水壶里已经装满了水，而所说问题中的其他情况都不变，试问，此时你应该怎样去做？” 此时被问者一定会大声而颇有把握地说：“点燃煤气，再把水壶放上去。” 他确信这样的回答是正确的，但是更完善的回答应该是这样的： “只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。” 从这段话可以看出，化归方法已经成为了数学家们最典型的思维模式了。 事实上，数学证明一般要归结为某些中间定理上去，即实质上也是一种化归过程。 这正如英国著名数学家哈代（HardyG.H）所说：“严格说来，没有所谓证明这个东西，归根结底，我们只是指指点点。” 也就是说，数学证明只能是指出待证问题可以归入哪个问题的证明或由哪些已证定理或成果来证明，而不可能老老实实从公理、公设、定义出发进行逻辑推理来证明。如果那样的话，仅勾股定理若要从希尔伯特的几何公理系统出发证明，就得需要几十页的篇幅。 笛卡尔的“万能方法”（一般模式）： 第一，把任何问题化归为数学问题；第二，把任何数学问题化归为代数问题；第三，把任何代数问题化归为方程式的求解。 由于求解方程问题是已经解决或较为容易解决的，因此，在笛卡尔看来，就可利用上述方法解决任何类型的问题，故称其为“万能方法”。 不容置疑，他所阐述的上述化归原则事实上已成为他赖以创立解析几何的思想方法基础。 化归的一些例子 霍布斯的“思维即计算”重要思想， 他认为可以把推理看成是词语和符号的加减。他写到：“借推理我意谓计算。计算或者是汇聚那被加在一起的许多事物的总和，或者是知道当一事物从另一事物被取走，什么仍然存留。因而推理同于相加和相减。……如经常可能的那样，以致所有的推理都可理解为这两种心智的运算，即相加和相减。” 从历史的角度看，霍布斯的这一思想对于后来的数理逻辑的发展是具有重大的启示意义的。 美国著名的数学家、数学教育家G?波利亚在《数学的发现》一书中给出了下述解决问题的方法： 在面临所要解决的问题时，我们应当考虑：“这是什么类型的问题？它与某个已知的问题有关吗？它象某个已知的问题吗？” 具体地说，我们可以从所要追求的具体目标（未知元素、待证命题）出发来进行考虑：“这里所谓的关键事实是什么？有一个具有同样类型未知量的问题吗（特别是过去解过的问题）？有一个具有同样结论的定理吗（特别是过去证明过的定理）？” 另外，从更一般的角度来说，又可考虑： “你知道一个相关的问题吗？ 你能设想出一个相关的问题吗？ 你知道或你能