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中国矿业大学周圣武概率论与数理统计4第四章 随机变量的数字特征-1
概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 例3 已知 的概率密度 例10 求 解 同理 1. 设C 是常数,则E(C )=C ; 2. 若C 是常数,则E(CX )=CE(X ); 3. 三、数学期望的性质 4. 设X与Y 相互独立,则 E(XY )=E(X )E(Y )。 (当Xi 独立时) 注意:由E(XY )=E(X )E(Y )不一定能推出X,Y 独立 5.(柯西-施瓦尔兹不等式) 推广: 四、几种重要分布的数学期望 Ⅰ. X为离散型随机变量 Ⅱ. X为连续型随机变量 ⑴ 均匀分布 ⑵ 指数分布 ⑶ 正态分布 已知 例1 求 服从参数为 3 的指数分布, X , Y相互独立, 解 由随机变量的性质可知 例2 一民航送客载有20 位旅客自机场开出,旅客有 10个车站可以下车, 就不停车。 以 X 表示停车的次数。 求E( X ).(设每个 旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下 车相互独立)。 如到达一个车站没有旅客下车 第i 站无人下车, 第i 站有人下车. 解 设 则 注: 不是相互独立的。 设X与Y 相互独立,且 求 练习题 答案: * 周 圣 武 Tel: E-mail: zswcumt@163.com 中国矿业大学 理学院 §4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差及相关系数 §4.4 矩、协方差矩阵 第四章 2. 随机变量函数的数学期望 1. 数学期望的概念 3. 数学期望的性质 4. 几种重要分布的数学期望 引例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的次品数X是一个随机变量. 如何确定小张每天生产的次品数的平均值呢? 我们先观察小张100天的生产情况 (假定小张每天至多出现三件次品 ) 1.离散型随机变量的数学期望 可以得到这100天中 每天的平均次品数为 这个数能否作为 X的平均值吗? 若统计100天, 32天没有出次品; 30天每天出一件次品; 17天每天出两件次品; 21天每天出三件次品; 可以想象,若另外统计100天,车工小张不出次品,出一件、二件、三件次品的天数与前面的100天一般不会完全相同,这另外100天每天的平均次品数也不一定是1.27. n0天没有出次品; n1天每天出一件次品; n2天每天出两件才品; n3天每天出三件次品. 可以得到n天中每天的平均次品数为 (假定小张每天至多出三件废品) 一般来说, 若统计n天 , 以频率为权 的加权平均 当n很大时,频率接近于概率, 所以我们在求次品数X的平均值时,用概率代替频率,得平均值为 以概率为权 的加权平均 这是一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 . 注:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的 若级数 绝对收敛 。 设离散型随机变量X 的分布律为 简称期望或均值,记为 E(X). 则称此级数的和为X 的数学期望。 即 级数的和. 数学期望是随机变量的平均值, 与 X 的取 值 x k 的顺序无关(唯一性),所以要求级数绝对收敛。 定义1 定理:绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛,且与原级数有相同的和 解 设试开次数为X , 于是 某人的一串钥匙上有n 把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望. 例1 例2 甲乙两人射击,他们的射击水平由下表给出 试问哪个人的射击水平较高? 解 甲乙的平均环数可求得: 因此,从平均环数上看,甲的射击水平要比乙的好。 X:甲击中的环数 Y:乙击中的环数 期望值在决策中有着广泛的应用 假如,一家个体户有资金一笔,如经营西瓜,风险大但利润高(成功的概率为0.7,获利2000元);如经营工艺品,风险小但获利少(95%会赚,但利润为1000元).究竟该如何决策? 所以权衡下来,他情愿去经营西瓜,因为西瓜的期望值高. 计算期望值: 若经营西瓜,期望值 E1=0.7×2000=1400元. 而经营工艺品期望值 E2=0.95×1000=950元. 练习题 1.设X~ b(n, p),求E(X)。 2.设X~π(λ),求E(X)。 3.设有3只球,4只盒子,盒子的编号为1、2、3、4,将球逐个随机地投入4只盒子中去,记X为其中至少有一只球的盒子的最小号码,求E(X)。 100/64 2.连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量,其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点
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