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九年级 第二十七章 相似
第二十七章 相似
1、图形的相似
相似图形:形状相同的图形叫做相似图形。
比例线段:对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段。
相似多边形的性质:相似多边形对应角相等,对应边的比相等。【测量】
相似比:相似多边形对应边的比称为相似比。
2、 相似三角形
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等。
平行线分线段成比例定理推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等。
三角形相似的判定定理1:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理2:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。
三角形相似的判定定理3:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
三角形相似的判定定理4:如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
直角三角形相似的判定定理:如果两个直角三角形斜边的比等于一组直角边的比,那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的周长和面积:相似三角形对应高的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形的周长和面积:相似多边形周长的比等于相似比;相似多边形面积的比等于相似比的平方。
3、 相似三角形性质
相似三角形对应角相等,对应边成比例。相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形内,外切圆直径比和周长比都和相似比相同,内,外切圆面积比是相似比的平方
位似:两个相似多边形,对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心。
位似图形的标准定义应是:如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心。
k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。
位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比。
位似图形对应线段的比等于相似比。
位似图形的对应角都相等。
位似图形对应点连线的交点是位似中心。
位似图形面积的比等于相似比的平方。
位似图形高、周长的比都等于相似比。
位似图形对应边互相平行或在同一直线上。
(2013?昆明)如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A,B重合),对角线AC,BD相交于点O,过点P分别作AC,BD的垂线,分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N.下列结论:
①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE2+PF2=PO2;④△POF∽△BNF;⑤当△PMN∽△AMP时,点P是AB的中点.
其中正确的结论有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质 分析: 依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形,四边形PEOF是矩形,从而作出判断. 解答: 解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠DAC=45°.
∵在△APE和△AME中,
,
∴△APE≌△AME,故①正确;
∴PE=EM=PM,
同理,FP=FN=NP.
∵正方形ABCD中AC⊥BD,
又∵PE⊥AC,PF⊥BD,
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°,且△APE中AE=PE
∴四边形PEOF是矩形.
∴PF=OE,
∴PE+PF=OA,
又∵PE=EM=PM,FP=FN=NP,OA=AC,
∴PM+PN=AC,故②正确;
∵四边形PEOF是矩形,
∴PE=OF,
在直角△OPF中,OF2+PF2=PO2,
∴PE2+PF2=PO2,故③正确.
∵△BNF是等腰直角三角形,而△POF不一定是,故④错误;
∵△AMP是等腰直角三角形,当△PMN∽△AMP时,△PMN是等腰直角三角形.
∴PM=PN,
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形,
∴AP=BP,即P时AB的中点.故⑤正确.
故选B. 点评: 本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用,认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形,四边形PEOF是矩形是关键. 2、(2013?新疆)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的
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