九年级 第二十七章 相似.doc

第二十七章 相似 1、图形的相似 相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。 比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。 相似多边形的性质：相似多边形对应角相等，对应边的比相等。【测量】 相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。 2、 相似三角形 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。 平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。 三角形相似的判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 三角形相似的判定定理2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 三角形相似的判定定理3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 三角形相似的判定定理4：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 直角三角形相似的判定定理：如果两个直角三角形斜边的比等于一组直角边的比，那么这两个直角三角形相似。 相似三角形的周长和面积：相似三角形对应高的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似多边形的周长和面积：相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方。 3、 相似三角形性质 相似三角形对应角相等，对应边成比例。相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形内，外切圆直径比和周长比都和相似比相同，内，外切圆面积比是相似比的平方 位似：两个相似多边形，对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。 位似图形的标准定义应是：如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心。 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。 位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 位似图形对应线段的比等于相似比。 位似图形的对应角都相等。 位似图形对应点连线的交点是位似中心。 位似图形面积的比等于相似比的平方。 位似图形高、周长的比都等于相似比。 位似图形对应边互相平行或在同一直线上。 （2013?昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论： ①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点． 其中正确的结论有（　　） 　 A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 分析： 依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断． 解答： 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC=45°． ∵在△APE和△AME中， ， ∴△APE≌△AME，故①正确； ∴PE=EM=PM， 同理，FP=FN=NP． ∵正方形ABCD中AC⊥BD， 又∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE ∴四边形PEOF是矩形． ∴PF=OE， ∴PE+PF=OA， 又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC， ∴PM+PN=AC，故②正确； ∵四边形PEOF是矩形， ∴PE=OF， 在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2， ∴PE2+PF2=PO2，故③正确． ∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误； ∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形． ∴PM=PN， 又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形， ∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确． 故选B． 点评： 本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键． 2、（2013?新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的