五年级奥数(仁华版)第十二讲 容斥原理.ppt

第十二讲 容斥原理 容斥原理实际上就是我们在四年级所学习的包含于排除 我们用下面的例子来说明说明叫容斥原理： 引例1、同学们去采集标本，采集昆虫标本的有32人，采集花草标本的有25人，两种标本都采集的有16人。去采集标本的学生共有多少人？ 我们可以用数形结合的方法来分析这个问题： 采集昆虫标本的有32人，采集花草标本的有25人，两种标本都采集的有16人。 分析（一）：先求出只采集昆虫标本和只采集花草标本的学生人数，在加上两种标本都采集的学生人数 解法一： 只采集昆虫标本的有32－16=16人， 只采集花草标本的有25－16=9人， 所以去采集标本的学生一共有 16＋9＋16=41 （人） 分析（二）把采集两种标本的学生人数加起来，再减去重复计算的人数 解：采集昆虫标本的学生有32人， 采集花草标本的学生有25人， 两种标本都采集的学生有16人， 所以去采集标本的学生一共有 32＋25－16=41 （人） 容斥原理的意义  像上面那样 要计算种事物的总量时，可以把总量分成两类分量计算，先把每个分量加起来，然后减去重复计算的部分。像这样的数学原理，我们称之为“包含于排除”原理，也叫容斥原理。 用字母表示可以是： 容斥原理（一） 原理一：如果把一组事物按两种不同的性质分类，其中A类的有∣A∣，B类的个数是∣B∣，既属于A类又属于B类的个数有∣A∩B∣。那么这组事物的总数是 ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣ 在这个式子里共有四个量，知道任意三个，都可以求第四个 应用举例 例1、桌子上有两张圆纸片A、B，假设圆纸片A的面积是30平方厘米，圆纸片B的面积是20平方厘米，这两张圆纸片重叠部分的面积是10平方厘米。求这两张圆纸片覆盖桌面的面积是多少？ 分析：两张圆纸片覆盖的桌面面积等于总面积减去重叠部分的面积。 解：根据容斥原理一，可得 30＋20－10=40 （平方厘米） 答：这两张圆纸片覆盖桌面的面积是40平方厘米。 逆向思维；例2、桌子上有两张圆纸片A、B，假设圆纸片A的面积是30平方厘米，圆纸片B的面积是20平方厘米，如果两张圆纸片覆盖桌面的面积是40平方厘米，那么重叠部分的面积是多少平方厘米？ 分析：这个问题相当于知道了两个分量和总量，求重复计数的部分，如图 解：根据容斥原理一，可得 30＋20－40=10 （平方厘米） 答：重叠部分的面积是10平方厘米。 例3、在1~100这100的整数中，能被3或7整除的数有多少？ 解：在1~100这100个整数中， 能被3整除的数有︱A︱＝ 33个， 能被7整除的数有︱B︱＝ 14个， 既能被3整除又能被7整除的数有 ︱A∩B︱＝ 4个， ︱A∪B︱＝ ︱A︱＋︱B︱－︱A∩B︱ ＝ 33＋14－4=43 所以，在1~100这100个整数中，能被3或7整除的数共有43个。 例4、在1~100这100个整数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？ 分析：先求出5或6的倍数有多少个，再减去。 解：1~100的整数中， 5的倍数有︱A︱＝ 20个， 6的倍数有︱B︱＝ 16个， 5和6的公倍数有 ︱A∩B︱＝ 3个， 所以，5或6的倍数有 ︱A∪B︱ ＝ （20＋16）－3=33（个）， 既不是5也不是6的倍数的数共有 100－33=67（个） 答：在1~100的整数中，既不是5得不是也不是6的倍数的数共有67个。 例5、六一路小学五（2）班共有82名同学在上次月考中至少有一门学科得了优秀，有60人语文得了优秀，72人数学得了优秀，你能求出有多少名同学语文、数学都得了优秀吗？ 分析：在这个问题里， ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣中相当于知道了的∣A∪B∣=82、∣A∣=60、∣B∣=72，求∣A∩B∣ 解（62＋70）－82=50 （名） 答：在这次月考中共有50名同学语文和数学都得了优秀。 例5、六一路小学五（2）班共有82名同学在上次月考中至少有一门学科得了优秀，有60人语文得了优秀，72人数学得了优秀，你能求出有多少名同学语文、数学都得了优秀吗？ 解：设有x名同学语文、数学都得了优秀 根据题意的；82=60+72－X 容斥原理在求图形面积中的应用 例6、如图，正方形边长为1厘米，半圆都是以正方形的边长为直径，求图中阴影部分的面积 分析：阴影部分的面积是用半圆覆盖正方形时重叠的部分 解；正方形的面积是1， 4个半圆可以拼成两个圆 面积是 0.5×0.5×3.14×2 =1.57 所以阴影部分的 面积是1.57－1=0.57（平方厘米） 课堂小结 1、在容斥原理（一）中 ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣里 共有四个量，知道任意三个，都可以求第四个 有时不易直接列出算式