人大版微积分第三版课件7-1级数概念与正项级数.ppt

第7章 一、常数项级数的概念 定义： 例1. 讨论等比级数 例2. 判别下列级数的敛散性: 二、无穷级数的基本性质 性质2. 设有两个收敛级数 性质3. 性质4. 三、级数收敛的必要条件 注意: 五、小结 一、正项级数及其审敛法 定理2 (比较审敛法) 例1. 讨论 p -级数 2) 若 调和级数与 p -级数是两个常用的比较级数. 例2. 定理3. (比较审敛法的极限形式) 例3. 判别级数 * 无穷级数 常数项级数的概念和性质 第一节 等差数列： 等比数列： 无穷数列： 级数： 给定一个数列 无穷级数: 叫做级数的一般项(通项), n次部分和: 部分和数列: 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项 则称无穷级数发散 . 收敛 , 则称无穷级数 记作 (误差). (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 从而 因此级数收敛 , 从而 则部分和 因此级数发散 . 其和为 2). 若 因此级数发散 ; 因此 n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, 时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 不存在 , 因此级数发散. 解: (1) 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 (2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 性质1. 则级数 也收敛, 其和为 比如: 说明: (2) 敛+散 不一定发散. 例如, (用反证法可证) (1) 敛+敛=敛 (性质2) =发散 由性质2知, 矛盾! (3) 散+散 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 比如: 收敛 ! 发散! 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 若按某一规律加括弧, 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一个子序列, 因此必有 例如 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注: 1 逆否命题:若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 2 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 但 例如， 发散. 或加刮号后的级数收敛,原级数不一定收敛 设收敛级数 则必有 证: 逆否: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为 不趋于0, 因此这个级数发散. 并非级数收敛的充分条件. 例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 . 事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 但 矛盾! 所以假设不真 . 例 判断敛散性 例:判断收敛与否 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解(1)原式= (2)原式= 常数项级数的基本概念 基本审敛法 第二节 常数项级数的审敛法 若 定理 1. 正项级数 收敛 部分和数列 有界 . 则称 为正项级数 . (1) 若大 则小 (2) 若小 则大 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . (常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 因为当 故 考虑大级数 的部分和 故大级数收敛 , 由比较审敛法知 p -级数收敛 . 时, 证明级数 发散 . 设两正项级数 满足 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ (1) 当 0 l ∞ 时,