八年级联赛班—圆与圆的位置关系.doc

第4讲 圆与圆的位置关系 知识板块： 知识梳理： 1、两圆的位置关系： 两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情况。 两圆的位置由半径和圆心距的大小关系可以确定两圆的位置关系 设两圆的半径分别为和，圆心距为： 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 连心线性质 两圆连心线的最基本性质是：两个圆关于它们的连心线对称。 由对称性可得： 如果两圆相切，则连心线过切点。 （2）如果两圆相交，则连心线垂直平分两圆的公共弦。 （3）如果两圆的外公切线（此时两圆外离或外切或相交），则连心线过公切线交点。 （4）如果两圆两离，则连心线过两条内公切线的交点。 公切线的性质 公切线数与两圆的位置关系： 两圆的位置关系 外公切线数 内公切线数 总数 外离 2 2 4 外切 2 1 3 相交 2 0 2 内切 1 0 1 内含 0 0 0 除两圆内含外，两圆都有外公切线，两个等圆的两条外公切线互相平行。 两圆外切或外离时，都有内公切线。 两条内（外）公切线的长相等。 如果两圆相切，则切点一定在连心线上。 两圆公切线： 一、圆与圆的位置关系 【例题精讲】 【例1】 相交两圆的公共弦长为，若两圆的半径长分别为和，则这两圆的圆心距为（ ）（2002年天津中考试题） A. B. C. D. （2）如图，和外切于点,直线分别切、于点,的半径为1，，则的半径为 。（2002年大连市中考题） 已知关于的一元二次方程无实根，其中分别是、的半径，为此两圆的圆心距，则、的位置关系为 。 （4）与相交与点两点，两圆半径分别为和，公共弦长为12，则 . （5）如图，与的半径为1和3，连接与交于点,,若将绕点按顺时针方向旋转，则与共相切 次。 （6）设与时同一平面上两个相切的半径为1的圆，在这个平面上同时与和相切的半径为3的圆的个数是 。 【例2】的半径为，点是外一点，，则以为圆心且与相切的圆的半径是 cm.(2008年吉林) 【例3】如图，点在直线上，厘米，的半径均为1厘米，以每秒2厘米的速度自左向右运动，云此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为。 试写出点之间的距离（厘米）与时间（秒）之间的函数表达式； 当点出发后多少秒时两圆相切？ 二、两圆相交 【例3】如图，和都经过两点，经过点的直线与交于点,与交于点,经过的直线与交于点,与交于点. 求证： 在图中，与可以分别绕点和点转动，当点与点重合时，过点作直线,试判断直线与的位置关系，并证明你的结论。 【例4】如图，和外离，一直线交于于点,交于点,交于于，交于于.的延长线于，的延长线交于，求证：. 【例5】如图，于相交于两点，在的圆周上，的弦交于点。证明：线段与垂直。 练习1：已知：如图，两圆相交于两点，过点的割线分别交于两圆于点，过点的割线分别交于两圆于点。求证：. 练习2：如图，两圆相交于点,大圆的割线交于小圆于点.求证：. 三、两圆相切或相离 【例6】已知如图，和外离，是内切线交于点，是圆心距，若，且的半径为，的半径为，求两条内切线长及它们所夹锐角的度数。 练习3：如图，已知为两圆的外公切线，为两圆的内公切线，为切点，为公切线的交点。证明：. 练习4：和的半径分别是1和2,两圆圆心距为5，分别作两圆的一条外公切线和两条内公切线。求三条公切线围城的三角形的面积。 练习5： 以为半径的两圆互相外切，为切点到外公切线的距离，求证：. 【例7】已知如图，两圆内切于点,大圆的弦和小圆相离，交于小圆于点,直线交大圆于点。求证：. 【例8】如图，已知和外切于点,过点交于,交于,是和的公切线，为切点，的延长线交于. 求证：. 求证：. 【例9】如图，和外切于点,一外公切线分别切两圆于两点，为的直径，求证：自点至的切线长等于. 【例10】如图，半径为的两圆和外切于点，外公切线分别切两圆于两点，试求的面积。 【例11】如图，，以为直径的圆与一个以为半径的圆相切于点，正方形的顶点在大圆上，小圆在正方形的外部且与切于点， 则 . 练习5： 如图，已知与外切，外公切线与、分别相切于两点，与的夹角,若，求两圆的半径及外公切线长。 练习6： 如图，与外切于点，它们的半径之比为，是它们的外公切线，是切点，且,则的值是 . 练习7： 已知如图所示，与内切于点，的弦交于点和，若,,求的长。 多圆问