信息光学_第二章.ppt

x方向的宽度比y方向宽度大，因此在x方向上中央条纹宽度要窄得多。 光波的数字描述 角谱及角谱的传播 标量衍射的角谱理论 夫琅禾费衍射与傅里叶变换 菲涅耳衍射和分数傅立叶变换 §5. 菲涅耳衍射和分数傅立叶变换 一、分数傅立叶变换 1、定义 正变换： 逆变换： 其中G(ξ)称为g(x)的分数傅立叶谱，α称为分数傅立叶变换的维，其值满足 几个特殊α值的变换： ①α=0 ②α=π/2 傅立叶变换 ③α=-π/2 傅立叶逆变换 ④α=π 2. 性质 ①线性性质 ②位移性质 ③可加性性质 ④周期性质 二、菲涅耳衍射 将菲涅耳衍射公式用矢量坐标 r（衍射孔径面坐标）和 （观察面坐标）来表示，可改写为： 与二维形式分数傅立叶变换比较以后，再通过变量代换可以将菲涅耳衍射公式用分数傅立叶变换来表示： 其中 ， 教科书P47习题2.4，2.9，2.12 反过来，如果我们已经知道了系统对输入角谱的作用，那么可以用线性不变系统分析的方法得到输出角谱，经过逆傅立叶变换则可以得到输出复振幅分布！ 线性不变系统 输入复振幅分布 输入角谱 输出角谱 输出复振幅分布 傅立叶变换 逆傅立叶变换 2、传递函数 将孔径面和观察面的角谱分别看作是一个线性不变系统的输入和输出函数的频谱。那么系统的传递函数可以表示为： 在满足标量衍射近似条件时倏逝波可忽略不计。故可将传递函数表示成 解释：可以把光波的自由传播现象看做一个空间滤波器（低通）。它具有有限的带宽。在频谱面上的半径为1/λ的圆形区域内，传递函数大小恒为1，对各频率分量的振幅没有影响，但要引入与频率有关的相移。在这一圆形区域外，传递函数大小为零。由此可加，对空域中比波长还要小的精细结构，或者说空间频率大于1/λ的信息，在单色光照明下不能沿z方向向前传递。光在自由空间传播时，携带信息的能力是有限的。 3. 衍射孔径对角谱的作用 光波经过衍射孔径后发生衍射，即除了沿原方向传播外还出现了一些偏离原传播方向的光。 从角谱（或空间频谱）的角度考察，就是衍射后光波角谱除了包含原来的频率成分以外还增加了一部分频率成分。由于衍射是光波传播方向偏离原来的方向，即衍射光与传播方向的夹角较大（空间频率较大），所以增加的是高频成分。 下面就来验证这一过程。设z=0处有一衍射屏，其透过率函数为： 入射光场为Ui(x,y,0)，则紧靠孔径后的平面上的出射光场为： Ut(x,y,0)=Ui(x,y,0)t(x,y) 对上式作傅立叶变换即得角谱关系： 光波的数字描述 角谱及角谱的传播 标量衍射的角谱理论 夫琅禾费衍射与傅立叶变换 菲涅耳衍射和分数傅立叶变换 一、惠更斯-菲涅耳原理 §3. 标量衍射的角谱理论 · · p dU(p) r p1 dS S(波前) 设初相为零 n ? K(?):倾斜因子 P点 分析： 1.从定性到定量，但仍然基于子波假设。 2.倾斜因子实际上是未知量。 二、基尔霍夫衍射公式 基尔霍夫给出了点光源照明平面屏幕时的倾斜因子表达式： 带入到惠更斯-菲涅耳原理中，则可得到任意单色照明情况下的衍射公式： 这里对积分限进行了扩展 三、菲涅耳衍射公式 1、菲涅耳近似条件 点光源、观察屏距离孔径足够远，衍射区相对小 2、菲涅耳衍射公式 如果把描述球面子波相干叠加的基尔霍夫理论称为衍射的球面波理论，角谱理论则可以称作衍射的平面波理论。 基尔霍夫理论与角谱理论比较 角谱理论描述孔径平面上不同方向传播的平面波分量（与系统的本征函数－复指数函数相对应）在传播距离z后，各自引入与频率有关的相移，然后再线性叠加，得到观察面上的场分布。 基尔霍夫理论和角谱理论是统一的，它们是从不同的角度描述光的传播特性。 基尔霍夫理论是在空间域讨论光的传播： 是把孔径平面光场看作点源的集合； 观察平面上的场分布则等于它们所发出的带有不同权重因子的球面子波的 相干叠加； 球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。 角谱理论是在频域讨论光的传播； 是把孔径平面场分布看作许多不同方向传播的平面波分量的线性组合； 观察平面上场分布依然等于这些平面波分量相干叠加，但每个平面波分量 引入相移了；相移的大小取决于系统的传递函数，它是系统脉冲响应的傅立叶变换； 本书的重点是从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题 前面已经讨论过频域的角谱传播问题，在由已知平面上的光场分布 可通过傅里叶变换得到其角谱 其后，可以求出它传播到平面 上的角谱 最后，通过傅里叶反变换可以进而得到用已知的 表示的衍射光场分布，从而得到空域中的衍射公式 平面波角谱的衍射理论 作傅里叶反变换有 代入在衍射平面上的角谱的表达式得到