关于幂法与反幂法的研究.doc

东北大学秦皇岛分校 数值计算课程设计报告 幂法及反幂法 ????? 学 院 数学与统计学院 专 业 学号 姓名 指导教师 *** *** 成 绩 教师评语： 指导教师签字： 2014年7月07日1 绪 论 课题的背景阶矩阵，若存在数和维向量满足：，则称为矩阵的特征值，为相应的特征向量。 病态矩阵：求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵。希尔伯特矩阵是一类著名的病态矩阵个线性无关的特征向量，即有一个完全的特征向量组。 2 MATLAB特征值计算工具简介 说明：(1)输入参量必须是方阵； (2)输出参量是一个矩阵，它的各列是方阵的特征向量； (3)输出方阵是一个对角阵，其元素是方阵的特征值，与同列向量相对应； (4)当不写输出格式时，只输出由得特征值为元素的列阵； (5)如果中含有小到跟截断误差相当的元素时，加写输入参数“nobalance”,它可以提高小元素的作用，通常可以省略该参数，以免使结果误差变大。 例题检验：求方阵的特征值和特征向量。 MATLAB实现过程如下： A=[2 1 0;1 3 1;0 1 4]; [V,D]=eig(A) V = 0.7887 -0.5774 0.2113 -0.5774 -0.5774 0.5774 0.2113 0.5774 0.7887 D = 1.2679 0 0 0 3.0000 0 0 0 4.7321 3 幂 法 3.1 幂法算法的理论基础及推导 设实矩阵有一个完备的特征向量组（矩阵有个线性无关的特征向量），其特征值为，相应的特征向量为。已知A的主特征值是实根，且满足条件。 现在讨论求及的方法： 幂法的基本思想是任取一个非零的初始向量，由矩阵构造一向量序列 称为迭代向量。 由假设，可表示为 （设） （3.1） 于是 （3.2） 其中。由假设，故,从而。这说明序列越来越接近的对应于的特征向量，或者说当充分大时，即迭代向量为的特征值的近似向量。 下面再考虑主特征值的计算，用表示的第个分量，则，故。也就是说两相邻的迭代向量分量的比值收敛到主特征值。 通过以上推论可以得出结论，设有个线性无关的特征向量（即非亏损的），主特征值满足，则对任何非零初始向量，构造的向量序列收敛到主特征向量；收敛到主特征值。（定理一） 幂法只能对非亏损矩阵求实的主特征值，且常用于实对称矩阵。 3.2 幂法算法的迭代向量规范化 应用幂法计算的主特征值及对应的特征向量时，如果（或），迭代向量的各个不等于零的分量将随而趋向于无穷（或趋向于零），这样在计算机实现时就可能“溢出”。为了克服这个缺点，就需要将迭代向量加以规范化。 设有一向量，将其规范化得到向量，其中表示向量的绝对值最大的分量，即如果有，则，且为所有绝对值最大的分量中的最小下标。 任取一初始向量，构造向量序列： 由（3.1）式有， 同理，可得到 结论：设有个线性无关的特征向量，主特征值满足，则对任意非零初始向量，按下述方法构造的向量序列，： 则有；。 3.3 幂法算法 1、算法步骤 (1)取初始向量（例如取）,置精度要求，置。 (2)计算 ,, (3)若，则停止计算（作为绝对值最大特征值，作为相应的特征向量）否则置，转(2)。 2、实现过程 在MATLAB中没有提供现成的函数幂法，通过自定义编写函数实现幂法。其代码如下： function [l,v,s]=mifa(A,x0,eps) %A为已知矩阵 %x0为迭代初始向量 %eps为迭代精度 %l为求得的矩阵主特征值 %v为求得的矩阵主特征向量 %s为迭代步数 if nargin==2 eps=1.0e-6; end v=x0; %v为主特征向量 M=5000; %对迭代步数限制 m=0; l=0; for k=1:M y=A*v; m=max(y); %m为模的最大分量 v=y/m; if(abs(m-l)eps) l=m; %到所需精度，退出，l为主特征值 s=k; %s为迭代步数 return else if k==m disp(迭代步数太多，收敛速度太慢); l=m;