傅里叶级数课件.ppt

当 时, 由于 所以 因此 当 或 时, 由于 由(14)或(15)都可推得 注 上式提供了一个计算 的方法. 还可以找出其他 展开式来计算 , 关键是收敛速度要快. 例3 在电子技术中经常用到矩形波(如图15-6所示), 反映的是一种复杂的周期运动, 用傅里叶级数展开 后, 就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的 简谐振动的叠加, 在电工学中称为谐波分析. 设 是周期为 的矩形波函数( 图15-6 ), 在 上的表达式为 求该矩形波函数的傅里叶展开式. 解 由于 是奇函数, 积分区间是对称区间 , 所以 于是当 时, 当 时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ). 返回 后页 前页 §1 傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用, 是又一类重要的级数. 返回 一、三角级数·正交函数系 三、收敛定理 二、以 为周期的函数的傅里叶级数 一、三角级数·正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数 来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动, 其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐 振动y 的周期是 较为复杂的周期运动, 则 常常是几个简谐振动 由于简谐振动 的周期为 所以函数(2)周期为T. 对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 的叠加： 若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运 动现象. 对于级数(3), 只须讨论 (如果 可 用 代换x )的情形. 由于 所以 它是由三角函数列(也称为三角函数系) 所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 个以 为周期的函数. 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理: 则级数( )可写成 定理 12.1 若级数 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 证 对任何实数x,由于 根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函 数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数 有函数具有共同的周期 的乘积在 上的积分等于零,即 而(5)中任何一个函数的平方在 上的积分都 不等于零, 即 若两个函数 与 在 上可积, 且 则称 与 在 上是正交的, 或在 上具有正 交性. 由此三角函数系(4)在 上具有正交性. 或者说(5)是正交函数系. 现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 之间的关系. 定理12.2 若在[-π,π]上 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 二、以 为周期的函数的傅里叶级数 证 由定理条件, 函数 f 在 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得 由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以 即 又以 乘(9)式两边 (k为正整数), 得 由级数(9)一致收敛,可得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积, 有 由三角函数的正交性, 右边除了以 为系数的那一 项积分 外,其他各项积分都等于0,于是得出: 即 同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得 由此可知, 若f 是以 为周期且在 上可积的 函数, 则可按公式(10)计算出 和 , 它们称为函数 f (关于三角函数系(5) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里 叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三角函数 系) 的傅里叶级数, 记作 这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级 数, 由定理12.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整 个数轴上一致收敛于和函数 f , 则此三角级数就是 f 的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“~”可换为 函数 f 出发, 按公式(10)求出其傅里叶系数并得到 傅里叶级数(12) , 这时还需讨论此级数是否收敛. 如果收敛, 是否收敛于 f 本身. 这就是下一段所要 叙述的内容. 等号. 然而, 若从以 为周期且在 上可积的 函数 f 在 上按段光滑, 则在每一点 f 的傅里叶级数(12)