先进控制理论 第3章.ppt

非奇异变换阵 是这样构成的，取 (14) 例：设线性定常系统如下，判别其能观性，若不是完全能观的，将 改系统按能观性进行分解。 其中 是在保证 为非奇异的条件下任意选取的，于是系统的 状态空间表达式变换为： 3.8.3 按能控性和能观性进行分解 1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能 控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、 不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这 四个部分的。 2)变换矩阵R确定之后．只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性 和能观性进行结构分解．但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。 3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然后按 能空判别法则和能管判别个状态变量的能控型和能观性，最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成 相应的子系统。 例17：已知系统： 是状态不完全能控和不完全能观的，试将该系统按能空性和能观 性进行结构分解。 解：例15已将系统按照能控性分解： 按能控性分解，构造非奇异变换阵 3.9 传递函数阵的实现问题 3.9.1 实现问题的基本概念 对于给定传递函数阵 W(s)，若有一状态空间表达式∑： 则称该状态空间表达式∑为传递函数阵W(s)的一个实现。 使之成立 3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现 (1) 3.7节已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本节介绍如何将 这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把 维的传递函 数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即 式中， 为 维常数阵；分母多项式为该传递 函数阵的特征多项式。 显然W(s)是一个严格真有理分式的矩阵，且当 时，W(s)对 应的就是单输入单输出系统的传递函数。 (2) 对于式形式的传递函数阵的能控标准型实现为： (3) (4) (5) 与此类推，其能观标准型实现为： (6) (7) (8) 式中， 和 。为 阶零矩阵和单位矩阵； 为输入矢量的维数。 例： 对照公式可得： 将上述系数及矩阵代入到公式中，便可以得到能控标准型的各系数阵： 类似的，可以得能观标准型各系数阵： 多变量系统的能控标准型实现和 能观标准型实现之间并不是一个 简单的转置关系 3.9.3最小实现 1.最小实现的定义 传递函数W(s)的一个实现： 如果W(s)不存在其它实现： (9) (10) 使 的维数小于 的维数，则称式(9)的实现为最小实现。 2.寻求最小实现的步骤 传递函数阵W(s)的一个实现∑： 为最小实现的充分必要条件是∑(A，B，C)既是能控的又是能观的： 这个定理的证明从略。根据这个定理可以方便的确定任何一一个具有严格的真有理分式的传递函数阵W(s)的最小实现。一般可以按照如下步骤来进行。 1)对给定传递函数阵W(s)，先初选出一种实现∑(A，B，C)：通常最方便的是选取能控标准型实现或能观标准型实现。 2)对上面初选的实现 ∑ ( A，B，C )，找出其完全能控且完全能观部分 ，于是这个能控能观部分就是W(s)的最小实现。 例： 根据公式可得： 判断系统的能控和能观性。 方法一： 方法二：将系统化为约旦标准形 中有全为零的行，系统不可控。中没有全为0的列，系统可观。 3.6 能控性与能观性的对偶关系 能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。 3.6.1 线性系统的对偶关系 有两个系统，一个系统 为： 另一个系统 ：为： 若满足下述条件，则称 与 是互为对偶的。 式中， 为 维状态矢量； 各为r与m维控制矢量； 各为 与 维输出矢量； 为 系统矩阵； 各为， 与 ， 维控制矩阵； 各为 与 维输出矩阵。 3.6.2 对偶原理 系统