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共面向量定理 【课前准备】 （1） A B C D M N B M N A D C （2） 1. 如图（1）, 可以由哪些向量相加得到？______________________________________ 图（2）中呢？_____________________________________________________ 2. 对于空间任意一点O，试问满足 （其中x+y=1）的三点P，A，B,三点是否共线？ 共线向量: 1.共线向量的定义： 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。 2.共线向量定理： 注：零向量与任一向量共线. 作用：判定向量共线, 线线平行（需说明不重合） 对于空间任意两个向量 , 存在实数 ,使得 3. 平面向量基本定理： 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数 x，y使______________. e1 e2 a O a A B C M N 共面向量 1.如图 是共面向量吗?为什么? (1)能平移到同一平面内的向量叫做共面向量. (2)空间中的任意两个向量一定是共面向量.这句话对吗?为什么? D1 A1 B1 C1 A B C D D1 A1 B1 C1 A B C D 2.空间中的任意三个向量一定共面吗? 已知向量 和两不共线向量 (1)当 共面时, 存在唯一一对有序实数(x,y),使得 ,这句话对吗? B/ (2)对于空间三个向量 ,如果存在惟一实数对(x,y),使得 ,那么 与 共面吗? B/ 共面向量定理： 已知两个 向量 ,那么 和 共面的充要条件是: 不共线 存在惟一实数对(x,y),使得 定理的作用: (2)证明点在面内或四点共面 (1)用两不共线向量 可以表示与 共面的任意向量. 练习:判断下列说法是否正确. (1)若 ,则 与 共面. (2)若 与 共面,则 . (3)若 ,则M,A,B,P四点共面. (4)若M,A,B,P四点共面,则存在实数x,y,使得 例题1: 已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且DM=2MB,EN=2NA,求证:MN//平面CDE A B C D E F N M G 例题2: 设空间任意一点O和不共线三点A,B,C,若点P满足向量关系: (其中x+y+z=1) 试问:P,A,B,C四点是否共面? 练习: 1.已知正四棱锥P-ABCD,点M,N分别在PA,BD上,且PM:MA=BN:ND=2:3,用向量法证明:MN//平面PBC. D P M A B C N 2.设平面任意一点P和不共线三点O,A,B,若点P满足 (其中x+y=1),P,A,B三点共线吗? 设平面任意一点P和不共线三点O,A,B,若点P满足 (其中x+y=1),P,A,B三点共线吗? 练习: 2.设 不共面,若 ,则 必( ) A.不共面 B.共面 C.可能共面 D.以上都有可能 3.设M在平面ABC内,对空间任意一点P, ,则x=___ 4.从平行四边形ABCD所在平面外一点O作向量 求证:(1)A1,B1,C1,D1四点共面. 小结: 1.共线向量: 对于空间任意两个向量 2.共面向量: 对于空间任意三个向量 3.共线向量推论： 注： 作用：证明点共线. 3.共面向量定理的推论 平面MAB的向量表示式 推论的作用：证明点在面内或四点共面。 定理与推论的区别：前者点P不一定