初等几何变换012.ppt

初等几何变换 1. 前面我们已经学习了图形的哪些变换？ 平移：平移的方向,平移的距离. 旋转：旋转中心,旋转方向,旋转角度. 相似：相似比. 对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对称图形)：对称轴,对称中心. 注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要工具,它不但装点了我们的生活,而且是学习后续知识的基础. 回顾与反思 下面请欣赏如下图形的变换 观察与思考 ? 下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？ 概念 位似变换的概念 已知点O和实数K≠0，定义平面α到自身的一一变换如下 ： 变换中的每一对对应点A、A’满足 　　①点A、A’、O共线； 　　②有向线段之比（OA’/OA）=K，如K0，则A和A’在点O同侧.K0，则A和A’在点O异侧. 则上述变换称为以O为中心，K为位似比的位似变换.记作H（O ，K）. 位似图形的概念 如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点, 那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 判断下列各对图形是不是位似图形. （1）正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′； 辨一辨 （2）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′. 思考：是否相似图形都是位似图形？ 是 是 判断下面的正方形是不是位似图形？ 不是 A C D B F E G 显然，位似图形是相似图形的特殊情形.相似图形不一定是位似图形，可位似图形一定是相似图形. 思考：位似图形有何性质？ 位似图形的性质 性质2 :位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 性质 性质1 :一对位似对应点与位似中心共直线. 性质3 在位似变换下， 直线变换直线； 共线点变换为共线点； 共点线变换为共点线； 射线变换为射线，角变换为角； 三角形变换为三角形，且三角形的心变换为对应三角形的心。（如外心变换为外心，等等） 性质 位似变换具有反射性，对称性和传递性. 性质4 O . A B C A C’ B’ . 作法 如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大 到原来的两倍. OA:OA’ =OB:OB’ =OC:OC’= 1:2 作法 思考：还有没其他作法？ O . A B A C’ B’ C 如果位似中心跑到三角形内部呢？ 应用 以△ABC的三边为底作三个转向相同 的相似等腰三角形C’AB，A’CB，B’AC. 求证A’CB’C是平行四边形. △C’AB∽△A’CB ∠ABC’ =∠CBA’ ∠ABC’ + ∠C’BC =∠CBA’ + ∠C’BC ∠ABC’ =∠C’BA’ AB:BC =C’B:BA’ △ABC∽△C’BA’ △ABC∽△AC’B’ 证明一: △C’BA’∽△AC’B’ C’B = AC’ C’A’=AB’=B’C C’B’=BA’=A’C 四边形A’CB’C’ 是平行四边形 应用 证明二: △BCA’∽△ACB’∽△ABC’ 它们都是等腰三角形 它们有相同的底角,设为θ,考虑旋转变换R（B,θ） A’ C’ P， Q. R(B,-θ) A’C’ PQ， C’B QB. BA’ BP， R(B,-θ) BA’:BC’=BC:BA △BPQ与△BCA位似. BP:BQ=BC:BA PQ∥CA. ∠(PQ,C’A’)=θ ∠(AC,B’C)=θ C’A’∥B’C. 同理，C’B’∥A’C. 四边形A’CB’C’ 是平行四边形. 应用 已知: △ABC的垂心H,重心M, 外心O. 求证:H、M、O三点共线. 设AA1，BB1，CC1是△ABC的中线. 则M是△ABC和△A1B1C1的公共重心.而△ABC 的外心O恰为△A1B1C1的垂心. 考虑位似变换H（M，-2）,则 证明: A1 B1 C1 A， B， C. H（M,-2） △A1B1C1 △A1B1C1的垂心O △ABC, △ABC的垂心H. H（M,-2） 由位似变换性质知O、M、H三点共线.(点O、M、H所在的直线就是欧拉线.) 应用 证明思路: 设圆⊙A1,⊙B1,⊙C1分别与△ABC的两边相切， A1B1∥AB， B1C1∥BC， C1A1∥CA， 又AA1，BB1，CC1分别平分∠A、∠B、∠C， 它们共点于内心I， △A1B1C1和△ABC是以I为中心的位似形. 只