利用旋转解决几何问题(较难).ppt

* * 基础回顾 旋转具有以下特征： （1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应角、对应线段相等； （4）图形的形状和大小都不变。 旋转的思想：旋转是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。 在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔPCP中，此时ΔPAP也为正三角形。 1500 提示：△APPˊ 为正三角形 提示：△PBPˊ 为直角三角形 分析：PA、PB、PC比较分散，可利用旋转将PA、PB、PC放在一个三角形中，为此可将△BPA绕B点逆时针方向旋转60°可得△BHC。 提示1：△BPH是等边三角形 提示2：△HCP是Rt△ 提示3：∠HPC=30° ？！ 提示3：∠HPC=30° 提示4： △BCP是Rt△ 分析：可将△BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△BMA。 提示：△BOM是等边三角形 在等腰直角三角形ΔABC中， ∠C=Rt∠ , P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP CP为等腰直角三角形。 例2．如图，在ΔABC中，∠ ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠ BPC的度数。 分析：将ΔACP绕C点逆时针旋转90度，AC与BC重合，得ΔCBPˊ 提示1： ΔCBPˊ为等腰直角三角形 提示2： ΔBPPˊ为直角三角形 ( ⊙o⊙?) 1350 提示：△ BNQ为Rt△ 提示：△MCN≌△QCN 推论：在解题过程中，会发现图形中的线段AM、BN、MN组成一个直角三角形，即有结论：MN2=AM2+BN2． 提示：△BED 为Rt △ △AED 为Rt △ ( ⊙o⊙?) 二、旋转在正方形中的运用 解：连结BH。 由旋转可知，Rt△ 又因为 所以 又BC=2，所以 由勾股定理得 在Rt△BCH中， 所以∠HBC=30° 所以∠ =60°，∠ =30°， 所以这个旋转角为30° 提示：将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与重合，实际上就是把△ABP顺时针方向旋转90°可得△BCP`，即PBP`=90°。 分析：设PA=k，则PD=2k，PC=3k(k0) 而PA、PD、PC三条线段较为分散，故可考虑旋转法，目的就是将三条线段以等线段替换方式集中在一个三角形中． 将△APD绕点C顺时针旋转90°得到△CDE，连结PE CE2+PE2=9k2，CP2=9k2，即CE2+PE2= CP2 135° 把△CDQ绕点C旋转90°到△CBF的位置，CQ=CF。