北京邮电大学 计算机学院 高等数学 D10级数习题课2013gai.ppt

习题课 一、数项级数的审敛法 3. 任意项级数审敛法 (柯西审敛原理) 例1. 若级数 练习提示: 利用比值判别法, 可知原级数发散. 题2. 设正项级数 题3. 设级数 题4.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 题5. 判别级数 题6. 判别级数 题8. 求极限 二、求幂级数收敛域的方法 例2. 例3.已知 三、幂级数和函数的求法 例4. 求幂级数 法2 例5. 求 练习: 练习: 练习: 四、函数的幂级数和付式级数展开法 2. 设 3. 将 2. 函数的付式级数展开法 , 将 f (x)展开成 x 的幂级数 , 的和. ( 01考研 ) 解: 于是 并求级数 展成 x -1的幂级数 。 解: 先令 展成 t 的幂级数 作业 P211 1; 2 (1 ), (3) ; 3 (2), (3) , 思(4), (5) , 思(6) ; 4(1) ; 7； * 级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第十章 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅立叶级数. 为傅氏系数) 时, 时为数项级数; 时为幂级数; 当 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz判别法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证: 则由题设 收敛 收敛 收敛 题1. 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) 据比较判别法, 原级数发散 . 因调和级数发散, 用比值法, 可判断级数 因 n 充分大时 ∴原级数发散 . 用比值判别法可知: 时收敛 ; 时, 与 p 级数比较可知 时收敛; 时发散. 再由比较法可知原级数收敛 . 时发散. 发散, 收敛, 和 也收敛 . 提示: 因 ?存在 N 0, 又因 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 都收敛, 证明级数 当n N 时 收敛 , 且 是否也收敛？说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数 收敛 , 收敛, 级数 发散 . 例如, 取 提示: (1) P 1 时, 绝对收敛 ; 0 p ≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 . 故 因 单调递减, 且 但 所以原级数仅条件收敛 . 由Leibniz判别法知级数收敛 ; 而 由正项级数比值法原级数绝对收敛 . 与P级数比较原绝对收敛 .或积分审敛法 因 由正项级数比较审敛法，原级数绝对收敛 . ～ 的敛散性 . 法1 由性质推论知原级数发散。 法2. 由比较审敛法的极限形式知 非单调降 由莱…知收敛. (绝对)收敛,由性质… 的敛散性 . 解: 由积分审敛法知级数发散。 题7. 由比较审敛法，原级数绝对收敛。 能判断 收敛吗？ 收敛， 而 若正项级数 不能！如 解: 题9. 若 级数部分和 收敛。 从而 有界 证 ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . 题1. 求下列级数的敛散域: 练习提示: 解: 当 因此级数在端点发散 , 时, 时原级数收敛 . 故收敛域为 解: 因 故收敛域为 级数收敛; 一般项 不趋于0, 级数发散; 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 ∵ 原级数 = ∴ 其收敛半径 注意: 解: 令 的收敛半径R, 求 的收敛半径也是R， 的收敛半径和收敛区间. 的收敛半径仍是R. 的收敛半径也是R.既 绝对收敛 级数发散 收敛区间为 | x - 1 | R , 既 -R+1 x R+1. ? 求部分和式极限 求和 ? 映射变换法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 难 直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值 求部分和等 ? 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） ? 数项级数 求和 法1 易求出级数的收敛域为 先求出收敛区间 则 设和函数为 法1 法2 作幂级数 解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为 而在 x≠0 题1. 求下列幂级数的和函数： 级数发散,