北师大版必修1 4.2.3_函数建模案例.ppt

§4.2.3 函数建模案例 现在许多家庭都以燃气（天然气、煤气、液化气、沼气等）为烧水做饭的燃料，请同学简单的概述燃气灶烧水的环节. 设想，当旋钮转角非常小时，燃气流量也非常小，甚至点火后的热量不足以将一壶水烧开，如果一直烧下去，燃气用量将无止境； 随着旋钮转角增大，即燃气流量渐渐增大。但旋钮转角很大时，燃气不一定充分燃烧，过分的热量也不能充分作用于水壶，会产生浪费，反而会使烧一壶开水的燃气用量增大。 旋钮在什么角度用气量最小呢？ 我们不可能测出所有旋钮转角对应的燃气用量值， 于是，试图经过实验测出几组数据，然后用这些数据拟合函数，得到所求。 从图4-13可以看出，5个点显示出随着旋钮的角度逐渐增大，燃气用量有一个从小到大的过程。 在我们学习过的函数图像中，二次函数的图像与之最接近，因此可以用二次函数近似地表示这种变化。 在这个建模中值得注意的是： 阅读P128 抽象概括 用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫做数学建模， 通过上面的例子，可以用下面的图4-14表示建模的过程 (2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175㎝,体重为78㎏的在校男生的体重是否正常? 课堂练习 P130 练习题 小结 数学建模及其方法 * * * 景德镇第一中专 文志杰 现在燃气价格不断上升，用燃气烧水做饭是必要的，但怎样用气才能做到节约。怎样烧开水最省燃气呢？ 问题提出 省燃气的含义就是烧开一壶水的燃气用量少。 烧水时是通过燃气灶上的旋钮控制燃气流量的，流量随着旋钮位置的变化而变化。 由此可见，燃气用量与旋钮的位置是函数关系。 于是，问题是：旋钮在什么位置时烧开一壶水的燃气用量最少？ 分析理解 1、给定燃气灶和一只水壶，因为燃气灶关闭时，燃气旋钮的位置为竖直方向，我们把这个位置定为0o；燃气开到最大时，旋钮转了90o.选择燃气灶旋钮的五个位置18o，36o，54o，72o，90o.图象. 一、建立数学模型解决问题的方案 0° 18° 36° 54° 72° 90° 3、利用数据拟合函数，建立旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的函数解析式. 4、利用函数解析式求最小用气量. 5、对结果的合理性作出检验分析. 2、在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量. 0.172 8.670 8.498 90o 0.149 8.819 8.670 72o 0.139 8.958 8.819 54o 0.122 9.080 8.958 36o 0.130 9.210 9.080 18o 所用燃气量/m3 水开时燃气表读数/m3 燃气表开始时读数/m3 项目 位置 二、实验 为减少实验误差，要保证每次烧水时水壶的起始温度是一样的.所以，在做实验之前，记录相关数据得到下表: 用表内数据，用横坐标表示旋钮位置，纵坐标表示烧开一壶水燃气用量的点，在直角坐标系上标出各点. 三、拟合函数 从所选的5组数据可以判断燃气用量与旋钮角度之间存在什么样的关系呢？ 0.2 0.1 18o 36o 54o 72o 90o 旋钮角度 燃气用量/m3 0 图4-13 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172 为此，设函数式为y=ax2+bx+c：取三对数据可求出表达式的系数，不妨取(18，0.130)，(36，0.122)，(90，0.172)，得方程组 解得 则函数解析式为 求燃气用量最少时的旋钮位置，实际上是求函数 的最小值点x0 四、求最小用气量： 即燃气用量最少时旋钮的位置是旋转39度，这时的用气量为 取旋转39度角，烧开一壶开水，所得实际用气量是不是0.1218m3? 如果基本吻合就可以依托此做结论了. 如果相差大，特别是这个用量大于0.122，最小值点就肯定不是39度了，说明这三对数据取的不好，可以换另外的点重新计算.然后再检验.直至结果与实际比较接近就可以了. 实际上，我们从已知的五对数据可以看出，如果取(18,0.130),(36,0.122),(54,0.139), 函数的最小值点就小于36。了。 五、检验分析 数学建模的过程如下： 实际情景 提出问题 数学模型 数学结果 可用结果 检验 合乎实际 不合乎实际 图4-14 例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表： 17.50 15.02 12.15 9.99 7.90 6.13 体重/kg 110 100 90 80 70 60 身高/cm 体重/kg