北航7系理论力学d-ch6D.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * BUAA * * 作业：6-13、6-14、6-15 什么是陀螺？ 为什么要研究陀螺近似理论？ 用什么方法研究？ §6-3 陀螺近似理论 * * 什么是陀螺？ 陀 螺(gyroscope)： 绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体。 结构特性：陀螺转子为旋转体 运动特性：绕旋转体的旋转轴高速转动（角速度大小为常量） * * 为什么要研究近似理论 问题: 1、如何定性分析陀螺的动力学特性？ 2、如何应用陀螺近似理论研究实际工程问题？ 3、如何应用陀螺近似理论分析解释一些力学现象？ 目的：要建立陀螺的运动与其作用力间的简洁关系式 * * 用什么方法研究 定点运动刚体的欧拉动力学方程 其中：Ox’、Oy’、Oz’为刚体对O点的惯量主轴（随体坐标轴） 方程的特点：具有普遍性，适用范围广。 形式复杂，不易做定性分析和简便计算。 * * §6-3 陀螺近似理论 利用陀螺的运动特性和机构特性 Z’ * * §6-3 陀螺近似理论 陀螺近似理论公式： 其中： MO是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和， O点既可以是惯性参考系中的固定点，也可以是刚体的质心。 Z’ * * §6-3 陀螺近似理论 陀螺的动力学特性： 陀螺（力矩）效应 陀螺的进动性 陀螺的定向性 陀螺力矩(gyroscopic torque)： 作用在陀螺上的外力矩与陀螺力矩相互平衡 Z’ * * §6-3 陀螺近似理论 例：已知 且大小均为常量，均质圆盘质量为m，半径为R，CD＝2L，求陀螺力矩和支座C、D的附加动反力。 * * §6-3 陀螺近似理论 当转子高速转动时，若转轴也转动，则陀螺力矩会产生附加动反力。 陀螺力矩 陀螺力矩产生的作用效应称为 陀螺效应。 轴承C、D作用在CD轴上的附加动反力 * * §6-3 陀螺近似理论 观察的现象： 下半圆盘向里斜, 上半圆盘向外斜。 陀螺力矩 动点: 圆盘边缘上的一点M 动系: 固连在电机定子的 o’x’y’z’ M 可以证明：陀螺力矩就是各质点科氏惯性力对O点之矩的矢量和。 * * §6-3 陀螺近似理论 当计算机硬盘转动时，搬动计算机会损坏硬盘。 计算机硬盘的陀螺效应 陀螺效应的实例 * * §6-3 陀螺近似理论 问题：分析汽车转向时，车轮的陀螺效应. 车身惯性力的影响 * * §6-3 陀螺近似理论 问题：分析飞机盘旋飞行时，发动机转子的陀螺效应。 转子的陀螺效应： 使飞机抬头或低头。 * * §6-3 陀螺近似理论 * * O §6-3 陀螺近似理论 问题：分析舰艇在波浪中行进时，转动系统的陀螺效应。 陀螺效应: 产生疲劳破坏 * * §6-3 陀螺近似理论 问题：碾轮转动时，作用在碾盘上外侧的正压力和内侧的正压力相比，哪个大？ 陀螺效应：碾盘外侧的正压力大 * * §6-3 陀螺近似理论 陀螺的进动性 问题：如何确定陀螺转子的自转角速度方向？ * * §6-3 陀螺近似理论 Z’ mg * * §6-3 陀螺近似理论 例题：质量为m的陀螺在地面上作定点运动，绕自身对称轴的转动惯量为 J，绕该轴的角速度为ω，z’ 轴与铅垂轴z的夹角为α=300。陀螺质心C 到O 点的距离为L。求陀螺的进动角速度Ω和地面的约束力。 Z’ mg C 解：应用陀螺近似理论： F N F * * §6-3 陀螺近似理论 陀螺的定向性 证明：当外力对刚体的质心之矩为零时，刚体绕最大或最小惯量转轴（k’ 轴）的转动是稳定的（k’的方向是稳定的）。 * * §6-3 陀螺近似理论 设：z’ 轴是刚体的最大或最小惯量主轴。 设： 根据z’轴的性质有： 根据欧拉动力学方程 由于外力对质心之矩为零，则 然后两式相加得： * * §6-3 陀螺近似理论 由此得到： 刚体对质心C的动量矩为常矢量 刚体对质心C的动量矩为： A、B、C 同号 * * §6-3 陀螺近似理论 飞行器惯性导航 * * §6-3 陀螺近似理论 高速旋转物体的其它动力学特性 * * §6-3 陀螺近似理论 补充内容：定点运动刚体的动能 * * §6-3 陀螺近似理论 例：求质量为m半径为R 的均质圆盘的动能 。已知： * * §6-3 陀螺近似理论 Z’ Z O 思考题：质点A、B质量均为m，固连在不计质量的AB杆上，AB杆绕O点作定点运动。设：AO=BO=R，能否用陀螺近似理论公式计算图示瞬时两个质点的陀螺力矩。 A B Z’ Z O B A * * §6-3 陀螺近似理论 思考题：4个质点的质量均为m，固连在不计质