医药数学统计-7.ppt

随机变量的方差 随机变量的方差 引例：为比较甲、乙两个运动员的射击水平，每人各射击5次，结果如下表： 试比较两个人的射击水平的高低 MEAN=9.84 例3.16：假设随机变量的概率函数为 求X的方差 (4) V(X)=E(X2)-(EX)2 常见分布的方差 1 两点分布 2 二项分布 3 泊松分布 4 均匀分布 5 指数分布 6 正态分布 变异系数 主要用于对均数相差较大或单位不同的几组观察值的变异程度进行比较。 例：测得某地成年人舒张压均数为77.5mmHg,标准差为10.7mmHg；收缩压均数为122.9mmHg,标准差为17.1mmHg。试比较舒张压和收缩压的变异程度。 K阶原点矩和K阶中心矩的概念 第三节：大数定律与中心极限定理 例3.26 某并的患病率为0.005，对10 000人进行检查，试求患病人数在45-55人之间的概率。 例3.27 对敌人阵地进行1 000次炮击，假设每次每次炮击，炮弹的命中颗数的数学期望为0.4，方差为1.6，试估计1 000次炮击中，有360—440颗炮弹命中的概率。 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机 方差的定义 定义1 即 V(X ) = E [X - E(X)]2 变量 X 的方差, 记为V (X ) 或 Var (X ) 称 为 X 的标准差. 两者量纲相同 V(X ) —描述 随机变量 X 的取值偏离平均值的平均偏离程度 若 X 为离散型 随机变量，分布律为 若 X 为连续型随机变量 ，概率密度为 f (x) 计算方差的常用公式： 例 (1) V (C) = 0 (2) V (aX ) = a2V(X) （3）若X ,Y 相互独立，则 方差的性质 推论： 相互独立， 为常数 则 若 例 设X ~ B( n , p)，求V(X ). 解 引入随机变量 相互独立， 故 例 设 X ~ N ( ?, ? 2), 求 V( X ) 解 常见随机变量的方差 分布 方差 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p(1-p) B(n,p) np(1-p) P(?) ? 分布 方差 概率密度 区间(a,b)上 的均匀分布 E (?) N(?,? 2) 仅知 r.v.的期望与方差并不能确定其分布 P -1 0 1 0.1 0.8 0.1 P -2 0 2 0.025 0.95 0.025 与 有相同的 期望方差 但是分布 却不相同 例如 定理：(辛钦大数定律) 设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望?，则 即若任给?0, 使得 定理：（贝努里大数定律） 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记m为n次试验中事件A发生的次数，则 贝努里大数定律表示，当试验在不变的条件下重复进行多次时，事件A发生的频率以概率P(A)=p为其稳定值。这正是概率统计定义的理论基础。 二、 中心极限定理 Center Limit Theorem 中心极限定理是概率论中最重要的极限定理。 在概率论中，一切论述“一系列相互独立的随机变量的极限分布是正态分布”的结论都称为中心极限定理。 定理：独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=??，DXk= ?2 ?， ?20, k=1, 2, …, 则对任意实数x，有： 根据上述定理，当n充分大时 当n≥30，最好n≥50，才能用中心极限定理进行近似计算。 设随机变量X服从参数为n, p(0p1)的二项分布，则 定理：德莫佛-拉普拉斯(De Moivre-Laplace) 定理 证明:设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 由Levy-Lindeberg中心极限定理,结论得证 该定理说明：当n—∞时，二项分布以正态分布为极限。 例：3.26 例：3.27