华东师范数学分析- 一般项级数.ppt

§3 一般项级数 三、Abel判别法和Dirichlet判别法 由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题 要比正项级数复杂得多, 所以对一般项级数的收敛性 讨论只限于某些特殊类型级数. 一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 一、交错级数 若级数的各项un 符号正负相间, 即 定义1 交错级数： 定理12.11 (Leibniz判别法) 若交错级数?(-1)n+1un满足: ?(-1)n+1un收敛. 证 :记交错级数 ?(-1)n+1un的部分和数列{Sn}: ∵{un}单减,∴上式中(ui-ui+1)?0, 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套. 由区间套定理,?|S?R, 使得 推论 若 ?(-1)n+1un满足Leibniz判别法的条件, ?收敛级数?(-1)n+1un的余项估计式: Leibniz判别法 收敛 收敛 收敛 P24Ex. 1(2,2-6); 3,8 收敛, 各项取绝对值， 性质1(定理12.12 ) 绝对收敛的级数是收敛的. 证 ∵ ∑| un |收敛,根据级数的柯西收敛准则, 二、绝对收敛级数及其性质 若级数 ∴由柯西准则知级数∑un也收敛. 注:级数∑un绝对收敛? ∑|un|收敛,可用正项级数判别法 定义2 级数∑un为绝对收敛级数： 绝对值收敛否？ 对任何实数 都绝对收敛. 例1 级数 ∴ 例E1.1:级数 绝对收敛？ 解：∵ 收敛， 绝对收敛 若级数∑un收敛,但∑| un |不收敛, 定义 ∑un为条件收敛: Th:级数∑| un |收敛? ∑un收敛 收敛 条件 绝对收敛 绝对收敛 ∑un收敛 绝对收敛： ∑| un |收敛 条件收敛: ∑| un |发散 ?正项级数判别法 ? Leibniz判别法 P24Ex. 1; 4 1.级数的重排--绝对收敛级数性质 正整数列 一一映射k：{1,2,…,n, …}→ {1,2,…,n, …} 正整数列的重排 级数的重排 性质2(定理12.13 ) 设∑un绝对收敛, 其和为S, ?任意重排后的级数∑vn绝对收敛,且和也为S. 性质2(定理12.13 ) 设∑un绝对收敛, 其和为S, ?任意重排后的级数∑vn绝对收敛,且和也为S. 注 定理12.13只对绝对收敛级数成立. 但条件收敛级数 适当重排后, 既可以得到发散级数, 也可以收敛于 任何事先指定的数. 例: %条件收敛 %上两级数相加, 是 的重排， 重排后级数和有变化. 重排后可发散 性质2(Th12.13 ) ∑un绝对收敛重排后仍绝对收敛,和不变 解:∵ 发散(积分判别法) ?n1使得 ∴?n2 n1使 发散， …… ∴? n3 n2使 发散， ∴? ni ni-1使 发散， 为原级数的一个重排, 发散， ∴重排后级数可发散 收敛级数 收敛 2. 级数的乘积 将级数∑un与∑vn中每一项所有可能的乘积列表如下 这些乘积uivj可以按各种方法排成不同的级数, 常用的排序:按正方形顺序或按对角线顺序. 特点:书写第n个正方形: uivn(i?n)+unvi(i↓n) 特点:书写第n条对角线: uivj+ (i?,i+j=n), 性质3 (Th12.14柯西定理) 若∑un 、 ∑vn都绝对收敛, ?所有ui uj按?顺序排列所得∑wn绝对收敛, 且和等于AB. 例2 等比级数 绝对收敛 将 按对角线顺序排列, 则得 注: 级数乘积在幂级数(CH14)中有重要应用. P25Ex. 5; 6 三、一般项级数收敛性判别法: Abel和Dirichlet判别法 引理 (分部求和公式, 也称阿贝尔变换) ?分部求和公式: 证 推论 (阿贝尔引理) 若 证 由(i)知 同号.不妨设为正 % 由(ii) % 由(i) 收敛性的判别法？. 定理12.15 (Abel判别法) (ii)级数∑bn收敛. (i)数列{an}单调有界 ?∑anbn收敛 证 ∵ --Abel引理条件(i) 由Cauchy收敛准则 , 单调有界, 收敛, 当 n N 时,对?正整数 p,有 --Abel引理条件(ii) ∴由Abel引理得， ∴由Cauchy收敛准则得，级数∑anbn收敛. 例:若级数 收敛， 对?ε?0，?N 0, P24Ex. 2(1) 定理12.16 (Dirichlet判别法) (ii)∑bn的部分和数列有界, ?级数∑an