华东师范数学分析- 一致收敛.ppt

【小结】 1.定义:函数项级数∑un(x),x?E收敛性? 和函数列{Sn(x)}, x?E收敛性. 2.判断 : ?对?ε0,?N?N+,当n N,?x?D,?p?N+时， ?Abel/Dirichlet判别法 【作业】P35E3(2)(4)(6);4;5;6 ?(Abel) ?(Dirichlet) * * CH12:数列 {un}, un,只与n有关 ,un(x),与n与x?E有关 函数项级数： 函数项级数收敛性要比数项级数复杂得多，特别 是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和 应用上有着重要的地位. CH13 函数列、函数项级数 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 数项级数: 函数列 {un(x)}, 一、函数列及其一致收敛性 是定义在同一数集E上的函数列, 即x?E 定义:E上的函数列: 定义:函数列{fn(x)}在点x0 数列 收敛, 若 x0为函数列{fn(x)}的收敛点 发散, 发散, 收敛， {fn(x)}在数集 D 上收敛： 收敛, 函数列{fn(x)}的极限函数： 当 时, 总有 收敛点的全体 函数列{fn(x)}收敛域： =f的定义域 例1 上的函数列, 证明它的收敛域是 , 且有极限函数 证一： ∴收敛域为（-1，1], 极限函数为 证二： ∴ {fn(x)} 在(-1 , 1]上收敛, ∴ {fn(x)} 在(-1 , 1]上收敛, ∴ {fn(x)}收敛域是(-1 , 1] , 且极限是 ∴ {fn(x)}发散 ∴ {fn(-1)}发散 ∴ {fn(x)} 在(-1 , 1]外发散, 例2 收敛域和极限函数。 解一： ∴收敛域为 极限函数为f(x)=0. 解二： 注 对于函数列, 仅讨论在哪些点上收敛是远远不够的， 重要的是:极限函数f(x)与函数列{fn(x)}间的解析性关系. ？ ？ ？ 如: 为此对 {fn(x)}在 D上的收敛性提出更高的要求才行. 定义1 注1： 注2： 若 例2中的函数列 是一致收敛的 解： ∴函数列 P35Ex2 定义1 图 13-1 对于序号大于 与 状区域之内. 函数列{fn(x)}在 D 上不一致收敛于 f : 定义1 例1 中, 解： 只限于在区间 上, 若函数列 只要 曲线 就全部落在 之间成的带状区域内， ∴ 上是一致收敛的. 定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) {fn(x)}在D上一致收敛? 证 必要性 函数列{fn(x)}一致收敛性判断 充分性 若 {fn(x)} 收敛, 设极限函数为f(x), x?D, 对?x?D,由数列收敛柯西准则， 由一致收敛定义知, 根据一致收敛定义可推出下述定理: 定理13.2 证 必要性 ∴对?ε0,?不依赖于x的正整数N，当nN时,有 充分性 由假设, 对??0, ?N?N+, 使得 函数列一致收敛的判别: 注: 柯西准则的特点:不需要知道极限函数,只根据函数 列本身的特性来判断函数列是否一致收敛, 而余式准则需要知道极限函数, 但使用较为方便. 例2: 柯西准则 余式准则 证: 例3 定义在[0,1]上的函数列 ∴函数列 {fn(x)} 在 上不一致收敛. P35Ex1(3) P42Ex1(2) 例4 讨论函数列 一致收敛性. 余式准则： 分析: 为了使用余项准则, 首先求极限函数f(x). ∴为最大值点. ∴根据余式准则知, {fn(x)}在[0,1]上不一致收敛 解 图13 – 4 注 不一致收敛是因为函数列余式 的增大一致趋于零 的数值在 附近不能随 ∴对?不含原点的区间 (见图13-4), 在该区间上一致收敛于零. 【小结】 1.定义:函数列{fn(x)}在点x0收敛: 数列{fn(x0)}收敛， 收敛点的全体, 函数列{fn(x)}的收敛域： 【作业】P35E1(1)(2)(3)(5);2 称为定义在E上的函数项级数, 定义： 二、函数项级数及其一致收敛性 为函数项级数∑un(x)的部分和函数列. 即 收敛, 则称级数∑un(x)在点x0收敛, x0为级数的收敛点. 若级数∑un(x0)发散, 则称级数∑un(x)在点x0发散. 若 D 为级数∑un(x)全体收敛点的集合,这时就称 D为级数∑un(x)的收敛域. 称S(x)为级数∑un(x)的和函数, D------R x ------S(x) 并记作 即 ∴函数项级数∑un(x)收敛性? 和函数列{Sn(x)}收敛性. 例5 定义2 ∵函数项级数∑