同济-高等数学-第三版(10.1) 第一节 常数项级数的概念与性质).ppt

逆否命题自然成立！ 加括号，改善级数收敛性。 去括号，消减级数收敛性。 逆否命题 发散的 发散。 结果归纳 由于大多数初等函数不能直接计算函数值，这使得 函数的应用存在根本性的困难。 多项式函数是能够直接计算函数值的函数形式，于 是产生讨论由多项式函数表示一般函数的问题。由对函 数值问题的精确求解便形成了“无穷多项式”的概念， 即由无穷级数讨论一般函数的方法和理论。 引例：半径为 r 的圆面积 A 的计算问题。 圆是曲边图形，用初等数学的方法不能直接精 确计算其面积。 在微积分创立之前，人们通过 如下方法将其转化为直边图形 来研究，即用圆的内接正多边 形面积近似逼近圆面积。 作圆的内接正六边形。 设其面积为 a1，则有 A ? a1 ． 再作圆的内接正十二边形。 在实际计算中，圆的内接正十二边形只需在内接正 六边形基础上补上六个小等腰三角形得到。 设补上的六个小等腰三角形的总面积为 a 2，则有 A ? a1 + a 2． 内接正六边形面积 (1) 用内接正多边形作逼近 内接正十二边形面积 上述作圆的内接正多边形的过程可不断进行下去， 由此可求得圆面积的越来越精确的近似值： A ? a1 + a 2 + a 3 + … + a n ． 让圆的内接正多边形的边数无限增大，则相应内接 正多边形面积可无限逼近圆面积。 从数值计算角度看，就是通过对内接正多边形的边 数 n 取极限 n → ?，最终可求得圆面积 A 的精确值，即 不断增加内接正多边形边数 精确计算圆面积 从理论角度考虑，自然会提出这样的问题，即对于 一个数列{ an }，是否总有 对于一个函数列{ an( r)}，是否总有 (2) 问题的提出 无穷和形式是否总可表达某个确定的数或函数？ 进一步的问题是，如果 则对于给定的函数 f( x )，是否总有 如果是，un( x )= ? 一般的函数是否总可表为无穷和形式？ 从实际问题的讨论可知，无穷和的概念实 际有两个，一个是由无穷多个常数的和去确定 某个特定的数。另一个是由无穷多个函数的和 去计算或表达某个函数及函数值。由此便产生 了常数项无穷和与函数项无穷和的概念。 显然，常数项无穷和是讨论无穷和形式的 基础。因此可先研究常数项无穷和。 设有数列{ un }:u1,u2,…,un,… ，则式子 ，称为常数项无穷级数。 需注意的是，在定义中，记号“+” 仅是连接号，并不直接具有加法意义， 只有当级数收敛时，它才是通常意义 上的加法运算。 设有级数 ，其前 n 项之和 S n = u1 + u2 + … + un 称为该级数的前 n 项部分和。 级数的前 n 项部分和也可构成一个数列{ S n }，称 此数列为原级数的前 n 项部分和数列。 级数前 n 项部分和数列和原级数间可建立“1-1对 应”关系，利用这种关系可方便地由熟悉的数列理论来 研究级数，从而可化无穷和讨论为有限形式的讨论。 (1) 级数前 n 项部分和及部分和数列的概念 (2) 讨论部分和数列的意义 设有级数 ，则由 S 1 = u1，S 2 = u1 + u 2,…, S n = u1 + u2 + … + un， 可唯一地确定其部分和数列{ S n }． 反之，若给定一个数列{ S n }，则由关系式 u1 = S1，u2 = S 2 - S1 ,…，u n = S n - S n -1， 也可唯一确定相应的级数 ．因此有 如果级数 的部分和数列{ S n }有极限，即 ，则称无穷级数 收敛，此时极限值 S 称 这个级数的和，并写成 S = u1 + u 2 + … + u n + … ． 如果部分和数列{ S n }的极限不存在， 则称无穷级 发散。 (1) 级数收敛的定义 (2) 无穷级数的研究任务 无穷级数的研究任务可分为三个方面： 一是判别级数的收敛性及研究收敛级数的性质； 二是研究如何将函数表示为无穷级数； 三是研究级数的求和法。 值得一提的是，级数收敛的定义也是 判别级数收敛的一种方法。这种方法的优 点是在判别级数收敛的同时也求