同济-高等数学-第三版(10.2) 第二节 常数项级数的审敛法.ppt

根据比较审敛法的极限形式证明 当 ? 1 时 ，由比较审敛法的极限形式知，正项级数 收敛 ，因而级数 绝对收敛。 当 ? 1 或 时，由极限定义可知， 必存在 N 0，使得 n N 时有 u n +1 / un 1， 即有 u n +1 un … u1 ，因此 级数发散。 当 ? = 1 时 ，极限形式比较审敛法失效，此时级数可 能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散。 为理解这种情形，考察如下的例： 考察如下三个级数： 显然，这三个变号级数都满足 对于级数( 1 )，由 p - 级数的敛散性知，级数 收敛，因而级数( 1 )绝对收敛。 对于级数( 2 )，由 p - 级数的敛散性知，级数 发散。由莱布尼兹判别法，交错 级数收敛。 因而级数( 2 )条件收敛。 对于级数( 3 )，由于其部分和极限不存在，故级数 ( 3 )发散。 例：讨论下列级数是否收敛，若收敛，考察其是条件收 敛还是绝对收敛 这是组任意项级数的敛散性讨 论问题。按问题要求，宜先考察级数是 否绝对收敛，若所论级数不绝对收敛， 再考察其是否条件收敛。 对级数条件收敛性的判别，一般宜 设法将其转化为交错级数进行考察。 对给定级数通项取绝对值有 对正项级数 ，由比值判别法有 由于比值判别法失效，考虑回归采用比较判别法进 行判别，为此需先设法构造优势级数。 先判别级数是否绝对收敛 为考察通项 u n 趋于零的速度，需先确定 其表达式: 由定义，对 ，? N * 0，使得当 n N * 时有 记：r = ? + ? *，则有 于是当 n N * 时有 即有 u N *+ 1 ? r u N *， u N *+ 2 ? r u N *+ 1 ? r 2 u N * ,… . 　 一般地有 u N *+ k ? r k u N *． 由于 u N * 为常数，而 0 r 1，故几何级数 收敛。 由于 u N *+ k ? r k u N *，故由比较审敛法知，级数 收敛。 由于级数 与级数 仅相差 N * 项，故级数 也收敛。 由定义，对 ，? N * 0，使得当 n N * 时有 记：r = ? - ? *，则有 于是当 n N * 时有 即有 u N *+1 r u N *， u N *+2 r u N *+1 r 2 u N * , … ， 　 一般地有 u N *+ k r k u N *． 由于 u N * 为常数，r 1，故几何级数 发散。 由于 u N *+ k r k u N *，故由比较审敛法知，级数 发散。 由于级数 与级数 仅相差 N * 项，故级数 也发散。 此外，还会出现这样的情形，即 此时自然有 un u1 0 ，于是 un → 0 . 在这种情形下 级数当然也是发散。 对于 un → 0 的情形，此时 u n +1 与 u n 是等价无穷 小。对于这种情形，级数通项 u n 的变化非常缓慢，以 至难以将其归结为几何级数考察通项趋于零的速度。 为此可通过实例进行考察： 对级数 均有 但二者一个发散，一个收敛，故对 ? = 1 的情形， 用这一方法不能确定级数的敛散性。 若正项级数 的后项与前项之比的极限 存在，或 ，则 当 ? 1 时，级数 收敛； 当 ? = 1 时，级数 可能收敛，也可能发散。 比值审敛法 当 ? 1，或