同济高数12_7傅里叶级数.ppt

第七节 一、三角级数及三角函数系的正交性 定理 1. 组成三角级数的函数系 二、函数展开成傅里叶级数 定理3 (收敛定理, 展开定理) 例1. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 说明: 例2. 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 定义在[–? ,?]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法 例3. 将函数 说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 三、正弦级数和余弦级数 例4. 设 例5. 将周期函数 2. 定义在[0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数 例6. 将函数 再求余弦级数. 内容小结 思考与练习 2. 3. 设 4. 写出函数 作业 备用题 1. 2. 设 傅里叶 (1768 – 1830) 狄利克雷 (18 05 – 1859) 傅氏级数的和函数 . 答案: 定理3 P313 1(1) , (3) ; 2 (1) , (2) ; 5 ; 6 ; 7 (2) 第八节 叶级数展式为 则其中系数 提示: 利用“偶倍奇零” (1993 考研) 的傅里 函数 是以 2? 为周期的函数 , 其傅氏系数为 则 的傅氏系数 提示: 令 类似可得 利用周期函数性质 法国数学家. 他的著作《热的解析 理论》(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅 里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题 傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. * 目录 上页 下页 返回 结束 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : 令 得函数项级数 ?为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 证: 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分不等于 0 . 且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 且 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, ① ② 对①在 逐项积分, 得 (利用正交性) 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; 由公式 ② 确定的 ① ② 以 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 简介 设 f (x) 是周期为2? 的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点 其中 ( 证明略 ) 为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点 注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多. 简介 它在 上的表达式为 解: 先求傅里叶系数 将 f (x) 展成傅里叶级数. 1) 根据收敛定理可知, 时,级数收敛于 2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图. 上的表达式为 将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 它在 说明: 当 时, 级数收敛于 周期延拓 傅里叶展开 上的傅里叶级数 其它 则 解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶级数. 2?为周期的函数 F(x) , 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得 设 已知 又 1. 周期为2? 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理4 . 对周期为 2? 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 周期为2?的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 , 它的傅里叶系数为 正弦级数, 它的傅里叶系数为 的表达式为 f (x) ? x , 将 f (x) 展成傅里叶级数. f (x) 是周期为2? 的周期函数,它在 解: 若不计 周期为 2? 的奇函数, 因此 n＝1 根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数: 级数的部分和 逼近 f (x) 的情况见右图. n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 展成傅里叶级数, 其中 E 为正常数 . 解: 是周期为2? 的 周期偶函数 , 因此 为便于计算, 将周期取为2? 周期延拓 F (x) f (x) 在 [0, ?] 上展成 周期延拓 F (x) 余弦级数 奇延拓 偶延拓 正弦级数 f (x) 在 [0, ?]上展成 分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数.