吴赣昌编_概率论与数理统计_第4章(new)修改.ppt

二、德莫佛-拉普拉斯定理(De Moivre-Laplace) 在n重贝努里试验中，每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，记Yn为n次试验中事件A发生的次数，则Yn~B(n,p)，对任意实数x，有 其中q=1-p 此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布。当n充分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算。 二项分布可以分解为n个独立的两点分布随机变量之和，应用定理3的结论即得。 一般地,若 X~B(n,p)，则近似地，X~N(np,npq)， 当n较大，而p较小时 二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正（一般题目不必修正） 注 意 点 (1) 特别是：当k1=k2时，用正态分布做近似时概率不为0. 例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率. 解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01) ＝0.17635 (2) 应用正态逼近: P(X=5) = P(4.5 X 5.5) = 0.1742 例4.20 某车间有200台机床，它们独立地工作着，设每台机器开工率为0.6，开工时耗电1千瓦，问供电所至少要供多少电才能以不小于99.9%的概率保证车间不会因供电不足而影响生产。 解 设X为200台机器中工作着的机器台数，则 X~B(200,0.6)，n=200，p=0.6，np=120，npq=48， 近似地有X~N(np, npq)，即X~N(120,48) 设r是供电所供给电力的最小数(千瓦)， 由题意 查表得 r=142 标准正态分布表 例4.21 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)不考虑运营成本，保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润有99%的概率不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？ 解 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n,p)，其中 n= 10000，p=0.6%， np=60， npq=59.64 近似地有X~N(np, npq)，即X~N(60,59.64) 设Y表示保险公司一年的利润，则 Y=10000?12-1000X 于是由中心极限定理 (1)P(Y?0)=P(10000?12-1000X?0) =1?P(X?120) ?1 ? ?(7.769)=0; (2)设赔偿金为a元，则 P(Y≥60000)=P(10000?12-aX≥60000) =P(X≤60000/a)≥0.99 由中心极限定理，上式等价于 标准正态分布表 中心极限定理的应用有三大类： 注 意 点 (2) ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n . i) 已知 n 和 y，求概率； 一、给定 n 和 y，求概率 例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率. 解：用 由此得： Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9. 二、给定 n 和概率，求 y 课后9 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产? 解：用 设供电量为y, 则从 又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42. 中解得 三、给定 y 和概率，求 n 例4.4.5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ 解：用 根据题意 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则 从中解得 Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。 又由 可解得 n = 271 例4.22 现有一大批种子，其中良种占1/6，今从其中任意选6000粒，试问在这些种子中，良种占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少？ 解 选一粒良种看成是一次随机试验，因此选6000粒种子看作是6000重伯努里试验，令X表示6000粒种子中的良种数，则X服从n=6000，p=1/6的二项分布， 例4.23 某药厂宣称，该厂生