哈尔滨工程大学课件复变函数 第四章 级数.ppt

按柯西积分公式, 有 且 z0 K z r z 由解析函数高阶导数公式,上式可写成 在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达. 这里q与积分变量z无关, 且0?q1. z0 K z r z K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | ? M. 因此, 下面的公式在K内成立: * 利用逐项积分，展开式的唯一性是容易验证的. 注： 1.如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|. 2.函果 f (z)在z0处解析的充要条件是f (z) 在 z0的某个邻域内有泰勒展开式 。 * 二、一些初等函数的泰勒展开式 基本方法： 1.直接展开法： 2.间接展开法：借助一些已知函数的展开式, 利用变量替换、逐项微（积）分、幂级数的运算、待定系数法等方法, 得出函数在指定点附件的泰勒展开式 例1.求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于 (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) ， 故有 因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+?. 同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式: * * * 例4 求对数函数的主值分支ln(1+z)在z=0处的泰勒展开式. 解： ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1内展开. * * * §4 洛朗级数 一、洛朗级数 定义1 形如 z0 R1 R2 例如级数 定理1 (洛朗展开式定理)设 f (z)在圆环域 R1 |z-z0| R2内解析, 则 C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线. 二、环形区域上解析函数的洛朗展开 在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导. 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数形式?. 幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数 解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| +? 内是处处解析的, 应把 f (z)在 这些区域内展开成洛朗级数. x y O 1 x y O 1 2 x y O 2 先把 f (z)用部分分式表示: ii) 在1 |z| 2内： iii) 在2|z|+?内: 函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的. * 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 第四章 级数 学习要点 幂级数和洛朗级数的运算和收敛性 将解析函数展成泰勒级数和洛朗级数的方法 复数项级数和复变函数项级数的概念和性质 第一节 复数项级数 复数列 ：一列有次序的复an=an+ibn,n=1,2,… 复数列的极限：设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-a|e在nN时成立, 则a称为复数列{an}当n??时的极限, 记作 此时也称复数列{an}收敛于a. 定理1. 复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要条件是 解题思路：首先分解an=an+ibn ，然后分别考 察an和bn的极限，再确定an的收敛性 * 2. 复数项级数  设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复数列, 表达式 称为复数项级数, 其前面n项的sn=a1+a2+...+an 称为级数的部分和. * 1. 基本概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数序列,其中各项在区域D内都有定义.表达式 称为复变函数项级数. 前面n项的和 sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z) 称为该级数的部分和. 第二节 幂级数 在，则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛,（或z0 是其的收敛点） 而s(z0)称为它的和，其收敛点的全体称为它的收敛域。级数在其收敛域D内处处收敛, 则它的和一定是z的一个函数 s