固体物理-第四章 能带理论.ppt

第四章 能带理论 4.1.基本概念 4.2.近自由电子近似 4.3.紧束缚近似 4.4.晶体中电子的速度、准动量及有效质量 4.5.固体导电性能的能带理论解释 4.6.晶体中电子的态密度 4.7.能带理论的局限性 4.1.基本概念 4.1.1.能带理论的基本假定 晶体由离子实（原子核+内层电子）和外层的价电子组成。 价电子的哈密顿量应该考虑：价电子的动能，离子实的动能，价电子之间，离子实之间，价电子与离子实之间的相互作用势能。 为了简化用单个电子在静止的周期势场中的运动,来描述晶体中所有等同电子的状态. 在上述假定下，晶体中价电子的哈密顿算符 ?=-?2?2/2m +V(r) （ 4.1.1.1） 其中, V(r+Rn)=V(r), 它包含代替价电子相互作用的平均势与离子实的周期势。 格矢,Rn=n1a1+ n2a2 + n3a3, n1, n2, n3为整数, a1,a2 ,a3 为晶胞的单位矢量. r ，电子的位矢. 4.1.基本概念 4.1.2.布洛赫定律 周期势场中的电子的波函数yk(r)是按照晶格周期函数调幅的平面波，即: yk(r)=ei k? r uk(r) （ 4.1.2.1.) 其中, uk(r)=uk(r+Rn) （ 4.1.2.2.) uk(r)具有与晶格同样周期的函数。如果周期势为0,它是常数。布洛赫定律还可写为， yk(r+Rn)=eik?Rnyk(r) (4.1.2.3.) 2.物理意义：ei k? r表明价电子与 自由电子一样可在整个晶体中运 动， uk(r) 使电子的平面波受到 调制。同时当平移格矢量Rn时波 函数只增加了位相因子ei k? Rn。 4.1.基本概念 4.1.3.周期边界条件 同样，要求晶体满足波恩-卡曼条件——周期边界条件。因此，波矢要受到限制。根据恩-卡曼条件, yk(r+N1a1+N2a2 +N3a3,)=yk(r), Ni代表沿i方向的原胞数， ai为相应的正晶格基矢， r 为电子的位置矢量。根据布洛赫定律， yk(r+N1a1+N2a2 +N3a3,)=eik? (N1a1+N2a2+N3a3)yk (r) 比较上面两个式子，可得： k? (N1a1+N2a2 +N3a3,)=2pn n为整数 这要求k=(n1b1/N1+n2b2 /N2+n3b3/N3) 4.1.3.1. 其中，ni为整数，b1，b2 ，b3为与a1，a2 ，a3为相应的倒格基矢。ai ? bj=2pd ij 每一组量子数对应一个k值。 4.1.基本概念 同样, 以k1, k2 , k3为坐标轴, 建立k-空间, 则每个电子的本征态可以用该空间的一点来代表。点的坐标由4.1.3.1确定，沿任一轴的两个相邻点之间的距离相同,都是bi/Ni, 可见,代表状态的点在k-空间中的分布式均匀的,每个点在K-空间所占的体积：b1/N1?(b2/N2 ) x(b3/N3) =V*/(N1N2N3)]=(2p)3/(vN)=(2p)3/V 4.1.3.2 V* , v, V分别是倒易原胞，晶格原胞和整个晶体的体积, N = N1N2N3是原胞总数。 k-空间中单位体积中的状态密度为V/(2p)3 .每个布里渊区k的数目为： V*/(V*/N)=N 4.1.基本概念 4.1.4.定态微扰简述 处于定态的粒子体系，受到一个微小的恒定的扰动后体 系的状态和能量等发生微小的变化。对于简并和非简并 情况处理方法不同。 1.非简并微扰 体系的哈密顿算符为 ?=?0+? (4.1.4.1) ?0的本征值和本征函数是已知的或者可以精确求解的且 不存在简并。?0的本征方程为： ?0y n (0) = En (0)y n (0) (4.1.4.2) n能级序号，? 微扰项。为便于比较，令?=l?’ , l1, ?’ 的作用相当于?0，但?’不等于?0。。于是 ?=?0+ l?’ 4.1.基本概念 如何求解薛定鄂方程： ?y n =(?0+ l?’)y n =En y n (4.1.4.3) 微扰项的作用很小，把波函数和能量展开为l的级数： y n=y n (0)+ly n (1) +l2y n (2) +…….. (4.1.4.4) E n=E n (0) +lE n (1) +l2En (2) +…….. (4.1.4.5)4.1.基本概念 式中y n (0)和E n (0)是体系没有微扰作用时的能量与波函数 把(4.1.4.4)和(4.1.4.5)代人(4.1.4.3)得： (?0+