圆与相似,解直角三角形综合题精选有答案.doc

解直1. （2012江苏镇江6分）如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。（1）求证：FC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，，求弦AC的长。 【答案】解：（1）连接OC， ∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）。 ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。 又∵∠FEC=∠AED（对项角相等）， ∴∠FCE=∠AED（等量代换）。 又∵DF⊥AB，∴∠OAC＋∠AED=900（直角三角形两锐角互余）。 ∴∠OCA＋∠FCE =900（等量代换），即∠OCF =900。 ∴OC⊥CF（垂直定义）。 又∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线（切线的定义）。 （2）连接BC。 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900（直径所对圆周角是直角）。 ∵OB=OC。∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）。 ∵∠OCB=∠ACB－∠ACO=900－∠ACO=∠OCF－∠ACO =∠FCE， ∴∠OBC=∠FCE。 又∵，∴。 又∵⊙O的半径为5，∴AB=10。 在Rt△ABC中， ∴。 【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。 【分析】（1）要证FC是⊙O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。 （2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到∠OBC=∠FCE，从而得到，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。（2012四川巴中10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°。 （1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。 【答案】解：（1）连接BD，OD， ∵AB是直径，∴∠ADB=90°。 ∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，则AD=BD。 ∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。 又∵DC∥AB，∴OD⊥DC， ∴CD与⊙O相切。 （2）过点O作OF⊥AE，连接OE， 则AF=AE=×10=5。 ∵OA=OE，∴∠AOF=∠AOE。 ∵∠ADE=∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。 在Rt△AOF中，sin∠AOF=， ∴sin∠ADE= sin∠AOF =。（2012福建福州12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E． (1) 求证：AC平分∠DAB； (2) 若∠B＝60o，CD＝2，求AE的长． 【答案】解：(1) 证明：如图，连接OC， ∵ CD为⊙O的切线，∴ OC⊥CD。∴ ∠OCD＝90°。 ∵ AD⊥CD，∴ ∠ADC＝90°。∴ ∠OCD＋∠ADC＝180°。 ∴ AD∥OC。∴ ∠CAD＝∠ACO。 ∵ OA＝OC，∴ ∠ACO＝∠CAO。 ∴ ∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB。 (2) ∵ AB为⊙O的直径，∴ ∠ACB＝90°． 又∵ ∠B＝60°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°。 在Rt△ACD中，CD＝2，∴ AC＝2CD＝4。 在Rt△ABC中，AC＝4，∴ AB＝＝＝8。 连接OE， ∵ ∠EAO＝2∠CAB＝60°，OA＝OE，∴ △AOE是等边三角形。 ∴ AE＝OA＝AB＝4。 【考点】切线的性质，平行的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质。 【分析】(1) 连接OC，由CD为⊙O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可 得出OC平行于AD，根据两直线平行内错角相等可得出∠CAD＝∠ACO，再由OA＝OC，利用等边对等 角得到∠ACO＝∠CAO，等量代换可得出∠CAD＝∠CAO，即AC为角平分线。 (2)由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在Rt△ABC中， 由∠B的度数求出∠CAB的度数为30°，可得出∠CAD的度数为30°。在Rt△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在Rt△ABC中，根据cos30°及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，从而得出半径OE的长，由∠EAO为60°，及OE＝OA，得到△