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圆锥曲线必背口诀2.0版--tobeenough 圆锥曲线必背口诀-椭圆（修正版） 一、椭圆定义 口诀：椭圆三定义，简称和比积. 注解： 1、定义1：(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆. 定点为焦点，定值为长轴.（定值==焦距） 如图，设为椭圆上一点，和为两个定点，则： 式就是椭圆和为定值的定义式. 2、定义2：(比)到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=） 如图，设为椭圆上一点，点到定直线(准线)的距离为，点到定点(焦点)的距离为，则： 式就是椭圆比为定值的定义式. 3、定义3：(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆. 定点为短轴顶点，定值为负值.（定值） 如图，设为椭圆上一点(除外)，为椭圆的两个短轴顶点.若直线的斜率为，直线的斜率为，则： 式就是椭圆积为定值的定义式. 证明：设，则、 于是，直线的斜率为： 直线的斜率为： 那么： ① 由椭圆方程：，即：，即：， 即： ② 将②代入①得：. 二、椭圆的性质定理 口诀：长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，方、方除以② 通径等于 ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘④ 注解： 1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理 长轴，短轴，焦距，则： 2、准线方程准焦距，方、方除以 准线方程： (方除以) 准焦距：(焦准距)焦点到准线的距离： (方除以) 3、通径等于2 ，切线方程用代替 椭圆的通径：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径） 过椭圆上点的切线方程，用等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是： 4、焦三角形计面积，半角正切连乘 焦三角形：以椭圆的两个焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形. 半角是指的一半. 则焦三角形的面积为： 证明：设，，则. 由余弦定理： 即：，即：. 即： 故： 又： 所以：椭圆的焦点三角形的面积为. 三、椭圆的相关公式 口诀：切线平分焦周角，称为弦切角定理① 切点连线求方程，极线定理须牢记② 弦与中线斜率积，准线去除准焦距③ 细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④ 注解： 1、切线平分焦周角，称为弦切角定理 弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角. 弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线. 证明：如图所示，红色直线为切线. 设点的坐标为，则： 切线的方程： 切线的斜率： 的斜率：，的斜率： 则： ① 而： ② 由①②式可得：，即：. 即：切线是两个焦点弦的角平分线. 2、切点连线求方程，极线定理须牢记 若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线，切点为，则点和切点弦分别称为椭圆的极点和极线. 切点弦的直线方程即极线方程： (称为极线定理) 当极点在椭圆上时，该点的切线就是极线，切线方程就是极线方程. 3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距 弦指椭圆内的一弦.中线指弦的中点与原点的连线，即得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离去除准焦距(焦准距)，其结果是： 证明：如图所示，因为在椭圆上，故： ， 上面两式相减得： 即： ① 直线的斜率为： ② 中点的坐标为： 则中线的斜率为： ③ 由②③得： ④ 由①④得：. 证毕. 4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹 中点弦的方程：在椭圆中，若弦的中点为，弦称为中点弦，则中点弦的方程就是，是直线方程. 5、中点弦的方程的证明： A 设椭圆方程为： ① 中点弦的方程为： ② 两者相交于和，则的中点坐标满足： ， ③ 则： 故： ④ B 将②代入①得： 即： 即： ⑤ C 由韦达定理得： 故： 即： ⑥ D 将④代入⑥式得： 即： 即： 故： ⑦ E 将⑦代入④式得： ⑧ 将⑦⑧代入②式得： 即： 即： 即：. 证毕. 弦中点的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点的弦，其中点的方程就是，仍为椭圆. 6、弦中点的轨迹方程的证明: A 设椭圆方程为： ① 过点的直线方程为： 即：，记： ② 则： ③ B 设中点的坐标为 则： ④ 借用上题的结果： 将④代入上式得： 即： 即：，故： ⑤ C 将⑤和②代入④式得： 即：，即： 即： ⑥ ⑥式就是弦中点的轨迹方程. 证毕. 中点弦方程和弦中点的轨迹方程，这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了. 圆锥曲线必背口诀2.0版--tobeenough 圆锥曲线必背口诀-双曲线(修正版) 一、双曲线定义 口诀：双曲线有四定义，差比交线反比例 注解： 1、定义1：(差)平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹称为双曲线