周世勋量子力学课件第二章.ppt.ppt

在统计物理中知道, 当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的概率求和；（加权平均） 当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的概率密度求积分。 基于波函数的概率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。 §4 Schr?dinger 方程 （一） 引言 （二） 引进方程的基本考虑 （三） 自由粒子满足的方程 （四） 势场 V(r) 中运动的粒子 （五） 多粒子体系的Schr?dinger方程 返回 这些问题在1926年Schr?dinger 提出波动方程之后得到了圆满解决。 微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题： (1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)波函数如何随时间演化。 （一）引言 返回 （二）引进方程的基本考虑 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初始条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。 让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。 （1）经典情况 （2）量子情况 3．第三方面，方程不能包含状态参量，如 p, E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。 1．因为，t = t0 时刻，已知的初态是ψ(r,t0) 且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波 函数所满足的方程只能含ψ对时间的一阶导数。 2．ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1(r,t)和ψ2(r,t)是方程的解，那么, ψ(r,t)= C1ψ1(r,t )+C2ψ2(r,t) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含ψ, ψ对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。 （三）自由粒子满足的方程 这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将Ψ对坐标二次微商，得： 描写自由粒子的波函数: 应是所要建立的方程的解。 将上式对 t 微商，得： 满足上述构造方程的三个条件 (1)–(2)式 讨论： 通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式 E = p2/2μ 写成如下方程形式： 做算符替换（4）即得自由粒子满足的方程（3） 容易验证, 不是方程的解 （四）势场 V(r) 中运动的粒子 该方程称为 Schr?dinger 方程，也常称为波动方程。 量子力学的第二条基本假定（或公设） 若粒子处于势场 V(r) 中运动，则能量和动量关系变为： 将其作用于波函数得： 做（4）式的算符替换得： 拉普拉斯算符 (直角坐标系) （五）多粒子体系的 Schr?dinger 方程 设体系由 N 个粒子组成， 质量分别为 μi (i = 1, 2,..., N) 体系波函数记为 ψ( r1, r2, ..., rN ; t) 第i个粒子所受到的外场 Ui(ri) 粒子间的相互作用 V(r1, r2, ..., rN) 则多粒子体系的 Schr?dinger 方程可表示为： 多粒子体系 Hamilton 量 对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作用： 而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为： 假定原子核位于坐标原点，无穷远为势能零点。 例如： §5 粒子流密度和粒子数守恒定律 （一）定域几率守恒 （二）再论波函数的性质 返回 （一） 定域的几率守恒 考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变。对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即 在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们 进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在 t 时刻 r 点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是： 证明： 考虑 Schr?dinger 方程及其共轭形式： 取复共轭 ? 课后练习 在空间闭区域τ中将上式积分，则有： 闭区域τ上找到粒子的总几率在单位时间内的增量 J是几率流(粒子流)密度，是一矢量。 所以(7)式是几率（粒子数）守恒的积分表示式。 其微分形式与流体力学中连续性方程的形式相同 单位时间内通过τ的封闭表面 S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率 S ? 使用 Gauss 定理 微分表示式为 量子力学的连续性方程 令 Eq.（7）τ趋于 ∞，即让积分对全空间进行，考虑到任何