复变函数 钟玉泉第三版 第四章第一节.ppt

第一节 解析函数的概念与柯西—黎曼条件 4.1.0 复数列的极限 * * * * 4.1.1复数项级数 4.1.2复函数项级数 4.1.3解析函数项级数 1.4 小结与思考 1.定义 记作 2.复数列收敛的条件 那末对于任意给定的 就能找到一个正数N, 证 从而有 所以 同理 反之, 如果 从而有 该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. [证毕] 定理：数列收敛的Cauchy准则 课堂练习: 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限. 1.定义 表达式 称为复数项级数. （4.1）最前面 n 项的和记为: 称为级数的部分和. 部分和 若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限, 4.1.1复数项级数 即若 收敛与发散（敛散性） 说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是: 则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成 否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有限极限,则称级数(4.1)为发散. 定理4.1 设 ??n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为: 分别收敛于a及b. 证 则 sn=An+iBn (n=1,2,…), 由第一章习题(一)17 limsn=a+ib 的充要条件为:limAn=a及limBn=b n?∞ n?∞ n?∞ 2.复数项级数收敛的条件 实数项级数 说明 该定理的作用是将复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题 (定理4.1) 分别收敛于a及b.? 解 所以原级数发散. 课堂练习 所以原级数收敛. 定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:对任给ε0,存在正整数N(ε),当nN且p为任何正整数时 |?n+1+ ? n+2+…+ ? n+p|ε. 推论2 收敛级数的各项必是有界的. 推论1 收敛级数的通项必趋于零: (事实上，取p=1,则必有|an+1|ε)，常用其等价命题： 不存在，则级数(4.1)发散 推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得 级数与原级数同为收敛或同为发散. 不满足必要条件, 所以原级数发散. 启示: 判别级数的敛散性时, 可先考察 ? 级数发散; 应进一步判断. 定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件 为级数 收敛. 证 由于 |an+1+an+2+…+an+p|≤|an+1|+|an+2|+…+|an+p|, 若 收敛,则由定理4.2,必 收敛 定义4.2 若级数 收敛,则原级数 称 为绝对收敛;非绝对收敛的级数,称为条件收敛. 级数 的各项既为非负实数,故它是否收 敛,可依正向级数的理论来判断. 3. 绝对收敛与条件收敛 定理4.4 (1)一个绝对收敛的复级数的各项可以 任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其 和.(2)两个绝对收敛的复级数 s=a1+a2+…+an+… s/=a1/+a2/+…+an/+… 可按右图所示的对角 线法（Cauchy乘积） 得出乘积级数 a1a1＇+(a1a2＇+a2a1＇)+…+(a1an＇+a2an-1＇+ … +ana1＇)+… 它收敛于ss＇. 说明 所以 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. 而 解 例1 解 所以数列发散. 例2 解 级数满足必要条件, 但 例3 故原级数收敛, 且为绝对收敛. 因为 所以由正项级数的比值判别法知: 解 故原级数收敛. 所以原级数非绝对收敛. 例4 解