复变函数-10.ppt

第四章 级数 §4.1 复数项级数与复函数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 Taylor级数 §4.4 Laurent级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一. 复数项数列的极限 二. 复数项级数的概念 三. 收敛级数的性质 四. 复函数项级数及其收敛域 §4.1 复数项级数与复函数项级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 4.1.1. 复数项数列的极限 定义 4.1.1 定理 4.1.1 数列极限的概念 复极限与实极限的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 例4.1.1 下列序列是否收敛, 若收敛求其极限 解 1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 注: 定理4.1.1给出了复极限与实极限的关系, 由此可以将复极限问题转化为实极限问题来研究。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 4.1.2. 复数项级数的概念 复数项级数 设{ zn }为一复数列，称下列无穷形式和 为无穷复数项级数, 简称为级数, 简记为 称 为级数的部分和。 收敛与发散 定义 4.1.2 设{Sn}为级数 的部分和数列, 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 若 不存在, 则称级数 的和, 记为 发散。 则称级数 收敛, 称s为级数 复级数与实级数的联系 定理 4.1.2 设z n= x n+i y n, n =1,2, …, 则 注：定理4.1.2表明由实级数的性质可以平行地得到 复级数的性质；复级数的审敛问题可以转化为实级 数的审敛问题。 珞珈学院 例 4.1.2 研究级数 的敛散性 。 解 由实级数敛散性判别可知, 调和级数 发散, 等比级数 收敛, 由定理4.1.2可知题设级数发散。 4.1.3. 收敛级数的性质 线性性质 珞珈学院 余项的敛散性 能采用这种简记法。 注：由此性质可知级数审敛时, 可以简记为 但是收敛级数增加、减少或改变有限项后所得到 的级数的和一般会发生变化, 因此级数求和时不 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 收敛级数的次结合性 设级数 收敛, 则 也收敛且和不变。 发散级数则不可随意添加括号。 注: 收敛级数可以任意添加括号, 但不能任意去括号; 收敛级数的必要条件 级数 收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 绝对收敛与条件收敛 定理 4.1.3 若级数 收敛, 则级数 收敛。 定义 4.1.3 级数 条件收敛。 若级数 收敛, 则称级数 绝对 收敛。若级数 发散, 级数 收敛，则称 例4.1.3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 发散 解 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 4.1.4. 复函数项级数及其收敛域 复函数列 设 f n(z) ( n=1,2, …)是定义在D上的 复变函数项无穷级数 设{f n(z)}的定义域为D C ; D上的复变函数项无穷级数, 简称函数项级数, 记为 称无穷形式和 f 1(z)+ f 2(z)+…+ f n(z)+…为定义在 复变函数, 称{f n(z)}为定义域是 D C的复函数列。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 一个发散点。 称级数 的全体收敛点组成的集合为其收敛域。 若 的定义域为D, E D为级数的收敛域, 则 称s(z)为级数 的和函数。 收敛域与和函数 定义 4.1.4 收敛点； 在E上定义了函数： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 例4.1.3 求级数 的定义域、收敛域,证明和函数为 。 解 当|z|1时， 当|z|≥1时， 所以级数的收敛域为E={z | |z|1}; 和函数为 级数的部分和函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院 4.2.1.幂级数及其收敛半径、收敛圆 §4.2 幂级数 4.2.2