复变函数第一章2008_2009.ppt

* * * * * * * * 6.边界点、边界: 设D 是复平面内的一个区域,如果点 P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D 中的点,这样的 P 点我们称为D 的边界点. D 的所有边界点组成D的边界. 说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. (2) 区域D与它的边界一起构成闭区域 以上基本概念的图示 区域 邻域 边界点 边界 7.有界区域和无界区域: 判断下列区域是否有界? (1) 圆环域: (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: z0 r2 r1 答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界. 平面曲线的复数表示: 1.4.2 曲线 简单曲线 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). 1.简单曲线、简单闭曲线 连续曲线: . , ) ( ), ( , ) ( , ) ( ) ( 称为连续曲线 代表一条平面曲线 那末方程组 是两个连续的实变函数 和 如果 b t a t y y t x x t y t x ￡ ￡ = = 换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 内部 外部 边界 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简单 闭 简单 不闭 不简单 闭 不简单 不闭 2. 光滑曲线、分段光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线. 1.4.3 单连通域与多连通域 复平面上的一个区域 B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 单连通域 多连通域 1.5 复变函数 1.5.1 复变函数的概念 1.定义 2.单(多)值函数的定义: 3.定义集合和函数值集合: 4. 复变函数与自变量之间的关系: 例如, 1. 引入: 1.5.2 复变函数的几何解析-映射的概念 2.映射的定义: 且是全同图形. 根据复数的乘法公式可知, 以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线) 以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线) 1.5.3 反函数的定义 1.反函数 2.复合函数 1.6 复变函数的极限和连续性 1.6.1 复变函数极限的概念 1.6.2 复变函数的连续性 1.6.1 复变函数极限的概念 注意: u v (w) o A x y (z) o 几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中 极限计算的定理 与实变函数的极限运算法则类似. 例: 证 (一) 根据定理一可知, 证 (二) 1. 复变函数 连续的概念 1.6.2 函数的连续性 2. 复变函数 连续的定理 特殊的: (1) 有理整函数(多项式) (2) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的. 例： 证 复平面上有界闭区域B 上连续的函数w=f(z)具有有界性。 * * * * x轴称为实轴，X 轴称为虚轴，xoy面称为复平面或者Z平面 * 当 z≠0 的情况，z 表示的向量与 x 轴正方向间的角 称为 z 的辐角，记作 Arg(z)=? Arg(z)= ? * * * * 注 * 课程名称 复变函数 与积分变换 教 材 《复变函数》 (西交大编) 《积分变换》（东南大学编） 总 学 时 56学时 教师姓名 王燕 课程简介 对 象 复变函数（自变量为复数的函数） 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。 主要内容 复变函数的积分、级数、留数、 （共形映射）等。 复数与复变函数、解析函数、 学习方法 复变函数中许多概念、理论、和 方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 论。 背　景 　　复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变