复变函数期末考试复习题及答案详解.doc

《复变函数》考试试题（一） __________.（为自然数） 2. _________. 3.函数的周期为___________. 4.设，则的孤立奇点有__________. 5.幂级数的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若，则______________. 8.________，其中n为自然数. 9. 的孤立奇点为________ . 10.若是的极点，则. 三.计算（分）： ，求在内的罗朗展式. 2. 3. 设，其中，试求 4. 求复数的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数. 2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值. 《复变函数》考试试题（二） 二. 填空题. (20分) 1. 设，则 2.设，则________. 3. _________.（为自然数） 4. 幂级数的收敛半径为__________ . 5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________. 7. 方程在单位圆内的零点个数为________. 8. 设，则的孤立奇点有_________. 9. 函数的不解析点之集为________. 10. . 三. 计算题. (40分) 1. 求函数的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值. 3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆. 4. 求 . 四. 证明题. (20分) 1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析. 2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 《复变函数》考试试题（三） 二. 填空题. (20分) 1. 设，则，则__________. 4. ___________. 5. _________.（为自然数） 6. 幂级数的收敛半径为__________. 7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 8. 设，则. 9. 若是的极点，则. 10. . 三. 计算题. (40分) 1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数. 2. 试求幂级数的收敛半径. 3. 算下列积分：，其中是. 4. 求在|z|1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数. 2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时 ， 证明是一个至多n次的多项式或一常数。 《复变函数》考试试题（四） 二. 填空题. (20分) 1. 设，则. 2. 若，则______________. 3. 函数ez的周期为__________. 4. 函数的幂级数展开式为__________ 5. 若函数在f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________. 7. 设，则. 8. 的孤立奇点为________. 9. 若是的极点，则. 10. _____________. 三. 计算题. (40分) 1. 解方程. 2. 设，求 3. . 4. 函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）. 四. 证明题. (20分) 证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析. 2. 证明方程在内仅有3个根. 《复变函数》考试试题（五） 二填空（2分），则. 2. 当时，为实数. 3. 设，则. 4. 的周期为___. 5. 设，则. 6. . 7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。的幂级数展开式为_________. 9. 的孤立奇点为________. 10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数） 三. 计算题. (40分) 1. 求复数的实部与虚部. 2. 计算积分： ， 在这里L表示连接原点到的直线段. 求积分：，其中0a1. 应用儒歇定理求方程，在|z|1内根的个数，在这里在上解析，并且. 四. 证明题. (20分) 1. 证明函数除去在外，处处不可微. 2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当时 ， 证明:是一个至多n次的多项式或一常数. 《复变函数》考试试题（六） 填空题（20分） 若，则___________. 设，则的定义域为_______________________