复变函数第六章共形映射习题.ppt

一、重点与难点 二、内容提要 1. 的几何意义 4）伸缩率 3.分式线性映射 分式线性映射的性质 3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性 4）分式线性映射具有保对称性. 4.唯一决定分式线性映射的条件 分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 5. 几个初等函数所构成的映射 特殊地: 三、典型例题 解2 解3 例3 求一个分式线性映射 它将圆 映成圆 ，且满足条件 例6 试将如图所示的区域映射到上半平面. * 重点： 难点： 分式线性变换及其映射特点 分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的映射 共形映射 分式线性映射 一一对应性 保角性 保圆性 几个初等 函数构成 的映射 分式线性映射的确定 对确定区域的映射 保对称性 幂函数 指数函数 正向之间的夹角. 的一条有向光滑曲线 之间的夹角. 2) 转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向 无关. 3)保角性 方向不变的性质, 此性质称为保角性. 夹角在其大小和方向上都等同于经过 方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性. 2.共形映射（保角映射） 也称为第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不 变而方向相反的映射, 称为第二类共形映射 质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性. 称为分式线性映射. 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成: 1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应. 2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性. 2. 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无 穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线. 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射 成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性. 注意：1. 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周. 这一性质称为保对称性. 交比不变性 判别方法: 对确定区域的映射 在分式线性映射下, C的内部不是映射成 方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取 若绕向相反, 则C 方法2 圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二 围成的区域. 3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域. 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二 圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区 域. 映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原 点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍. 因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利 用幂函数 所构成的共 形映射. 0 0 0 如果要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数. 0 特殊地: 0 映射特点: 解1 利用分式线性映射不变交比和对称点 由交比不变性知 由对称点的不变性知， 利用不变对称点 将所求映射设为 利用典型区域映射公式 例2 求一个分式线性映射 它将圆 映成圆 ,且满足条件 解 因 映成 的映射为 解 与 互为反函数， 故 解 例5 试证明在映射 下, 互相正交的直线族 与 依此映射成互相正交的直 线族与圆族 证 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交， 故命题得证. [证毕]